Question

Cho tam giác ABC . Vẽ về phía ngoài tam giác ABC , các tam giác vuông tại A là ABD, ACE có AB = AD , AC = AE. Kẻ AH vuông với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH. chứng minh rằng :

a) DM = AH

b) MN đi qua trung ddiểm của DE

Answer 1

a) Ta có :

Góc A₂ + A₃ + A₁ = 189' ( bù nhau )

mà góc A₃ = 90'

---> góc A₂ + góc A₁ = 180 - 90' = 90'

Vì góc DMA = góc AHB = 90'

--->góc D₂ + góc A₂ = 190' - góc DMA

--->góc D₂ + góc A₂ = 90'

---> góc A₁ + góc B₁ = 90'

--->góc D₁ = góc A_1; góc A₂ = góc B₁

xét hai tam giác vuông AMD và AHB có :

góc DMA = góc AHB ( vuông góc )

AD = AB ( GT )

góc A₂ = góc B₁ ( CMT )\

--->ΔDMA = ΔAHB ( cạnh huyền - góc nhọn )

---> DM = AH ( hai cạnh tương ứng)

b) Gọi M là giao điểm của MN và DE

Xét ΔANE và ΔCHA có :

( chứng minh như câu a)

---> EN = AH

Xét hai tam giác vuông IEN và IMD có :

góc I₁ = góc I₂ ( đối đỉnh )

EN = AH ( ΔANE = ΔCHA)

DM = AH ( CMT )

vì Tổng 3 góc tam giác = 180'

mà góc I1 = góc I2 ;

Góc M = góc N

---> ΔIMD = ΔENI ( cạnh huyền - góc nhọn)

---> DI = IE ( hai cạnh tương ứng 0

---> MN đi qua trung điểm của DE