Question

Bài 3: Tìm GTNN
A = 4x² - 2x + 1
B = x⁴ - 4x²
C = x² - 2x + 3 với x≥2
D = (x² - x + 1) (x² - x - 1)
E = (x - 2)² + (x - 4)²
F = x⁴ - 6x³ + 10x² - 6x + 9
G = x⁴ + 4x³ + 10x² + 12x + 11
H = x⁴ - 6x³ + x² + 24x +18
I = x⁴ + 4x³ - x² - 14x + 6
K = x⁴ + 2x³ - 10x² - 16x + 45
<Giúp với>

Answer 1

Lời giải:
a)

$A=4x^2-2x+1=(2x)^2-2.2x.\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$

$=(2x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\geq 0+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

Vậy $A_{\min}=\frac{3}{4}$. Giá trị này đạt được tại $(2x-\frac{1}{2})^2=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

b)

$B=x^4-4x^2=(x^2)^2-2.x^2.2+2^2-4=(x^2-2)^2-4\geq 0-4=-4$

Vậy $B_{\min}=-4$. Giá trị này đạt được tại $(x^2-2)^2=0\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}$

c)

\(C=x^2-2x+3=x(x-2)+3\)

Vì $x\geq 2\Rightarrow x(x-2)\geq 0\Rightarrow C=x(x-2)+3\geq 3$

Vậy GTNN của $C$ là $3$ khi $x(x-2)=0$ hay khi $x=2$

Answer 2

d)

$D=(x^2-x+1)(x^2-x-1)=(x^2-x)^2-1^2=(x^2-x)^2-1$

Vì $(x^2-x)^2\geq 0\Rightarrow D=(x^2-x)^2-1\geq -1$

Vậy GTNN của $D$ là $-1$. Giá trị này đạt được tại $(x^2-x)^2=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=1$

e)

$E=(x-2)^2+(x-4)^2=x^2-4x+4+x^2-8x+16$

$=2x^2-12x+20=2(x^2-6x+9)+2=2(x-3)^2+2\geq 2$

Vậy $E_{\min}=2$. Giá trị này đạt được tại $(x-3)^2=0\Leftrightarrow x=3$

f)

$F=x^4-6x^3+10x^2-6x+9=(x^4-6x^3+9x^2)+(x^2-6x+9)$
$=(x^2-3x)^2+(x-3)^2$

$=x^2(x-3)^2+(x-3)^2=(x-3)^2(x^2+1)$

Vì $(x-3)^2\geq 0; x^2+1>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ nên $F\geq 0$

Vậy GTNN của $F$ là $0$ khi $(x-3)^2=0\Leftrightarrow x=3$

Answer 3

g)

$G=x^4+4x^3+10x^2+12x+11$

$=(x^4+4x^3+4x^2)+6x^2+12x+11$

$=(x^2+2x)^2+6(x^2+2x)+11$

Đặt $x^2+2x=t$. Khi đó $t=x^2+2x=(x+1)^2-1\geq -1\Rightarrow t+1\geq 0$

$\Rightarrow G=t^2+6t+11=(t+1)^2+4(t+1)+7\geq 7$

Vậy $G_{\min}=7$ khi $t=-1\Leftrightarrow (x+1)^2=0\Leftrightarrow x=-1$

h)

$H=x^4-6x^3+x^2+24x+18$

$=(x^4-6x^3+9x^2)-8x^2+24x+18$

$=(x^2-3x)^2-8(x^2-3x)+18$

$=(x^2-3x)^2-8(x^2-3x)+16+2$

$=(x^2-3x-4)^2+2\geq 2$

Vậy $H_{\min}=2$ khi $x^2-3x-4=0\Leftrightarrow x=4$ hoặc $x=-1$

Answer 4

i)

$I=x^4+4x^3-x^2-14x+6$

$=(x^4+4x^4+4x^2)-5x^2-14x+6$

$=(x^2+2x)^2-6(x^2+2x)+9+x^2-2x-3$

$=(x^2+2x-3)^2+(x^2-2x+1)-4$

$=(x-1)^2(x+3)^2+(x-1)^2-4$

$=(x-1)^2[(x+3)^2+1]-4\geq -4$

Vậy $I_{\min}=-4$ khi $(x-1)^2[(x+3)^2+1]=0\Leftrightarrow x=1$

k)

$K=x^4+2x^3-10x^2-16x+45$

$=(x^4+2x^3+x^2)-11x^2-16x+45$

$=(x^2+x)^2-12(x^2+x)+x^2-4x+45$

$=(x^2+x)^2-12(x^2+x)+36+(x^2-4x+4)+5$

$=(x^2+x-6)^2+(x-2)^2+5$

$=[(x-2)(x+3)]^2+(x-2)^2+5$

$=(x-2)^2[(x+3)^2+1]+5\geq 5$

Vậy $K_{\min}=5$ khi $(x-2)^2[(x+3)^2+1]=0\Leftrightarrow x=2$