Question

Bài 3 : Tam giác ABC vuông tại A , đường phân giác BD . Kẻ AE vuông góc BD , AE cắt BC tại K

a) Chứng minh tam giác ABK cân tại B

b) Chứng minh DK vuông góc BC

c) Kẻ AH vuông góc BC . Chứng minh AK là tia phân giác của góc HAC

d) Gọi I là giao điểm của AH và BD . Chứng minh IK // AC

Answer 1

a) Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta KEB\) có:

\(\widehat{ABD}=\widehat{KBE}\) (BD là tia phân giác \(\widehat{B}\) )

BE ( chung )

\(\widehat{AEB}=\widehat{KEB}\left(=90^0\right)\)

Do đó: \(\Delta AEB=\Delta KEB \left(g-c-g\right)\)

=> BA = BK (hai cạnh tương ứng)

=> \(\Delta ABK\) cân tại B

b) Xét \(\Delta BAD\) và \(\Delta BKD\) có:

BA = BK (cmt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{KBD}\) (BD là tia phân giác \(\widehat{B}\))

BD (chung)

Do đó: \(\Delta BAD=\Delta BKD\left(c-g-c\right)\)

=> \(\widehat{BKD}=\widehat{BAD}\) (hai góc tương ứng) \(=90^0\)

=> DK \(\perp\) BC

c) Ta có: \(\widehat{BAE}+\widehat{EAD}=\widehat{BAD}\)

=> \(\widehat{EAD}=\widehat{BAD}-\widehat{BAE}\)

\(\widehat{BKE}+\widehat{KED}=\widehat{BKD}\)

=> \(\widehat{KED}=\widehat{BKD}-\widehat{BKE}\)

mà \(\widehat{BAE}=\widehat{BKE}\) và \(\widehat{BAD}=\widehat{BKD}\)

=> \(\widehat{EAD}=\widehat{KED}\) \(\left(1\right)\)

Vì \(\widehat{BHA}=\widehat{CKD}=90^0\)

=> AH // DK ( đồng vị )

=> \(\widehat{HAK}=\widehat{AKD}\) ( so le trong )

hay \(\widehat{HAK}=\widehat{EKD}\) \(\left(2\right)\)

\(\left(1\right);\left(2\right)\)=> \(\widehat{HAK}=\widehat{EAD}\)

=> AK là tia phân giác \(\widehat{HAC}\)

d) Xét \(\Delta BAI\) và \(\Delta BKI\) có:

\(\widehat{ABI}=\widehat{BKI}\) (BD là tia phân giác \(\widehat{B}\) )

BI (chung)

BA = BK (cmt)

Do đó: \(\Delta BAI=\Delta BKI\left(c-g-c\right)\)

=> \(\widehat{BAI}=\widehat{BKI}\) (hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{BAE}=\widehat{BKE}\)

Do đó: \(\widehat{IAE}=\widehat{IKE}\)

mà \(\widehat{IAE}=\widehat{KAD}\)

=> \(\widehat{IKE}=\widehat{KAD}\)

=> IK // AC (sole trong)

Answer 2

a) Ta có: BD là phân giác của góc ABK.

=> B thuộc đường phân giác của góc ABK.

=> AB = KB.

=> t/g ABK cân tại B (đpcm).

b) Vì KED vuông tại E(do AE vuông với BD)
E=90 độ =>góc EKD+góc KDE=90 độ
Áp dụng tính chất góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó:
=> góc DKC=góc EKD+góc KDE=90 độ.
=> DK vuông góc với KC hay BD.

Answer 3

a. Xét tam giác ABE và tam giác KBE có:

Góc ABE = góc KBE (BD là tia phân giác của góc ABC

BE chung

Góc BEA = góc BEK (=90^o)

=> tam giác ABE = tam giác KBE (g.c.g)

=> AB = BK

=> tam giác ABK cân tại B