Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, D là trung điểm của BC . Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của điểm D trên cạnh AB,AC.
a) CM: tứ giác ANDM là hình chữ nhật.
b) Gọi I,K lần lượt là điểm đối xứng của N,M qua D. Tứ giác MNKI là hình gì? Vì sao ?
c) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC(H thuộc BC). Tính số đo góc MHN.
Giúp vssss
a. Xét tứ giác ANDM có:\(\widehat{AMD}=90^o;\widehat{MAN}=90^o;\widehat{AND}=90^o\)
\(\Rightarrow ANDM\) là hình chữ nhật(tứ giác có 3 góc vuông)
b. Xét tứ giác MNKI có:
\(DM=DK\Rightarrow D\) là trung điểm MK
\(DI=DN\Rightarrow\) D là trung điểm MK
\(\Rightarrow MNKI\) là hình bình hành ( 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường )(1)
Mà: \(\widehat{MDN}=90^o\) ( ANDM là hình chữ nhật) hay \(MK\perp NI\)(2)
Từ (1),(2)⇒MNKI là hình thoi(2 đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
c. Ta có: \(DN\perp AC;AB\perp AC\)
\(\Rightarrow\) DN//AB(theo định lí từ vuông góc đến song song)
Xét \(\Delta ABC\) có: D là trung điểm của BC;DN//AB
\(\Rightarrow\) DN là đưởng trung bình \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow N\) là trung điểm AC
Ta có: \(MD\perp AB;AC\perp AB\)
\(\Rightarrow\) MD//AC(theo định lí từ vuông góc đến song song)
Xét \(\Delta ABC\) có: D là trung điểm BC; MD//AC
⇒ MD là đường trung bình của △ABC
⇒ M là trung điểm AB
Xét \(\Delta AHC\left(\widehat{AHC}=90^o\right)\) có:
HN là trung tuyến⇒\(HN=\frac{AC}{2}\Rightarrow HN=AN\)
Xét \(\Delta BHA\left(\widehat{BHA}=90^o\right)\) có:
HM là trung tuyến\(\Rightarrow HM=\frac{AB}{2}\Rightarrow HM=AM\)
Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta HMN\) có:
\(MA=MH\left(cmt\right)\)
\(MN\) cạnh chung
\(AN=HN\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta AMN=\Delta HMN\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{MHN}=\widehat{MAN}\) ( 2 góc tương ứng)
Mà \(\widehat{MAN}=90^o\Rightarrow\widehat{MHN}=90^o\)
Tự kẻ hình
a. Ta có:
\(\widehat{DNA}=90^o\left(DN\perp AC\right)\\ \widehat{DMA}=90^o\left(DM\perp AB\right)\\ \widehat{NAC}=90^o\left(AB\perp AC\right)\)
\(\Rightarrow ANDM\) là hình chữ nhật (DHNB)
b. D là trung điểm của KM (K đối xứng với M qua D)
D là trung điểm của NI (I đối xứng với N qua D)
Do đó MNKI là hình bình hành (DHNB)
Lại có \(DM\perp ND\) hay \(KM\perp NI\) nên MNKI là hình thoi (DHNB)
c. Ta có D là trung điểm của BC và ND//AB nên N là trung điểm của AC
Xét \(\Delta\)AHC vuông tại H có HN là trung tuyến nên \(HN=\frac{1}{2}AC=NA\Rightarrow\) \(\Delta\)ANH cân tại N\(\Rightarrow\) \(\widehat{NAH}=\widehat{NHA}\)
Ta có D là trung điểm của BC và DM//AC nên M là trung điểm của AB
Xét \(\Delta\)AHB vuông tại H có HM là trung tuyến nên \(HM=\frac{1}{2}AB=MA\Rightarrow\) \(\Delta\)AMH cân tại M\(\Rightarrow\widehat{MHA}=\widehat{MAH}\)
Lại có \(\widehat{NAH}+\widehat{MAH}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{NHA}+\widehat{MHA}=\widehat{MHN}=90^o\)
Do đó \(\widehat{MHN}=90^o\)
