Gọi AA',BB'.CC' là các đường trung tuyến ,G là trọng tâm của tam giác ABC,ta có: GA+GC>AC hay \(\dfrac{2}{3}(AA'+CC')>AC\)
Do đó \(AA'+CC'>\dfrac{3}{2}AC\).Chứng minh tương tự:
\(AA'+BB'>\dfrac{3}{2}AB;BB'+CC'>\dfrac{3}{2}BC\)
Cộng theo từng vế bà bất đẳng thức trên rồi suy ra:
AA'+BB'+CC'>\(\dfrac{3}{4}(AB+AC+BC)(1)\)
Trên tia đối tia A'A lấy điểm D sao cho A'D=A'A, ta có:
\(\Delta A'AB=\Delta A'DC(c-g-c)\) nên CD=AB.
Trong tam giác ACD theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
AD<AC+CD=AC+AB,do đó \(AA'<\dfrac{AB+AC}{2}\)
Chứng minh tương tự : \(BB'<\dfrac{AB+BC}{2}\)
\(CC<\dfrac{CA+CB}{2}\)
Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên suy ra:
AA'+BB'+CC'<AB+AC+BC(2)
từ(1) và(2) ta có:
\(\dfrac{3}{4}(AB+AC+BC)\)<\(AA'+BB'+CC'\)<\(AB+AC+BC\)
Xét tg ABC có các đường trung tuyến AM, BD, CE. Đặt BC= a; AC= c.
Theo bài ra ta có: \(AM< \frac{b+c}{2}\)
CMTT: \(BD< \frac{a+c}{2};CE< \frac{a+b}{2}\)
=>\(AM+BD+CE< a+b+c\)
Ta có \(BD+CE>\frac{3}{2}a\)
CMTT ta có:\(AM+CE>\frac{3}{2}b\)
\(AM+BD>\frac{3}{2}c\)
=>\(2\left(AM+BD+CE\right)>\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
Do đó : \(AM+BD+CE>\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)
