Gọi CO là đường cao của AB
⇒C,I,O thẳng hàng
Gọi BN là đường cao của AC
⇒B,I,N thẳng hàng
Ta có: ΔIOB vuông tại O(do IO⊥AB)
⇒\(\widehat{OIB}+\widehat{OBI}=90^0\)(hai góc phụ nhau)(1)
Ta có: ΔINC vuông tại N(do IN⊥AC)
⇒\(\widehat{NIC}+\widehat{NCI}=90^0\)(hai góc phụ nhau)(2)
Ta có: \(\widehat{OIB}=\widehat{NIC}\)(hai góc đối đỉnh)(3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra \(\widehat{OBI}=\widehat{NCI}\)
hay \(\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\)
Ta có: \(\widehat{ABI}+\widehat{IBC}=\widehat{ABC}\)(do tia BI nằm giữa hai tia BA,BC)
\(\widehat{ACI}+\widehat{ICB}=\widehat{ACB}\)(do tia CI nằm giữa hai tia CA,CB)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
và \(\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\)(cmt)
nên \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)
Xét ΔIBC có \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)(cmt)
nên ΔIBC cân tại I(định lí đảo tam giác cân)
⇒IB=IC(đpcm)
