Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Mary Stephanie

Bài 1 : Cho 2 số a và b thỏa mãn a+b=1.Chứng minh a^3+b^3+ab>=\(\frac{1}{2}\)

Bài 2:Tìm đa thức f(x) biết F(x) chia x+2 dư 10,chia x-2 dư 24,chia \(x^2-4\) được thương -5x và còn dư.

Bài 3 : Tìm dư khi chia \(x^{2015}+x^{1945}+x^{1930}+x^2-x+1\) cho \(x^2-1\)

Bài 4 : Cho ba số a,b,c khác 0 thỏa mãn\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\) chứng minh a=b=c

Nguyễn Việt Lâm
14 tháng 2 2020 lúc 10:08

1/ \(a^3+b^3+ab=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)+ab=a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\frac{1}{2}\)

2/ \(F\left(x\right)=P\left(x\right).\left(x+2\right)+10\Rightarrow F\left(-2\right)=10\)

\(F\left(x\right)=Q\left(x\right).\left(x-2\right)+24\Rightarrow F\left(2\right)=24\)

Do \(x^2-4\) bậc 2 nên đa thức dư tối đa là bậc nhất có dạng \(ax+b\)

\(F\left(x\right)=R\left(x\right).\left(x^2-4\right)+ax+b\)

Thay \(x=-2\Rightarrow F\left(-2\right)=-2a+b=10\)

Thay \(x=2\Rightarrow F\left(2\right)=2a+b=24\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2a+b=10\\2a+b=24\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{7}{2}\\b=17\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\)\(\frac{7}{2}x+17\)

Khách vãng lai đã xóa
Trần Quốc Khanh
14 tháng 2 2020 lúc 10:10

3/Vì đa thức chia có bậc 2 nên đa thức dư có bậc 1, có dạng ax+b. Ta có :\(x^{2015}+x^{1945}+x^{1930}+x^2-x+1=Q\left(x\right).\left(x^2-1\right)+ax+b\)Thay x=1 được 4=a+b(1)

Thay x=-1 được 2=-a+b(2)

Cộng (1) và (2) được 6=2b suy ra b=3, từ đó suy ra a=1

Vậy dư là x+3

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Việt Lâm
14 tháng 2 2020 lúc 10:15

Bài 3:

Do \(x^2-1\) bậc 2 nên đa thức dư tối đa bậc nhất, giả sử có dạng \(ax+b\)

\(\Rightarrow x^{2015}+x^{1945}+x^{1930}+x^2-x+1=P\left(x\right).\left(x^2-1\right)+ax+b\)

Thay \(x=1\Rightarrow4=a+b\)

Thay \(x=-1\Rightarrow2=-a+b\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=4\\-a+b=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=3\end{matrix}\right.\)

Đa thức dư là \(x+3\)

Câu 4:

Đặt \(\left(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x+xz+yz\)

Hmm, nhìn đến đây thì đoán bạn viết nhầm đề, đề đúng chắc vế phải là \(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\)

Khách vãng lai đã xóa
Trần Quốc Khanh
14 tháng 2 2020 lúc 10:16

Vì f(x) chia x^2-4 đc thương là -5x nên F(x)có bậc 3và dư có bậc 1, ta có \(ax^3+bx^2+cx+d=-5x\left(x^2-4\right)+\left(mx+n\right)\)

Theo đề, f(x) chia x+2 dư 10, x-2 dư 24.Áp dụng Bedut có

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-2\right)=10\\f\left(2\right)=24\end{matrix}\right.\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Tranh Diệp Phi
Xem chi tiết
Linh Ngô
Xem chi tiết
Phan Hữu Thắng
Xem chi tiết
Mary Stephanie
Xem chi tiết
Nguyễn Khánh Huyền
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Vân Trần Thị
Xem chi tiết
kiều trang
Xem chi tiết
tran thi mai anh
Xem chi tiết