a) Vì BD \(\perp\) AB nên \(\widehat{ABD}\) = 90o
CD \(\perp\) AC nên \(\widehat{ACD}\) = 90o
Do \(\Delta\)ABC cân tại A => \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\) và AB = AC
Ta có: \(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{CBD}\) = \(\widehat{ABD}\)
=> \(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{CBD}\) = 90o (1)
\(\widehat{ACB}\) + \(\widehat{BCD}\) = \(\widehat{ACD}\)
=> \(\widehat{ACB}\) + \(\widehat{BCD}\) = 90o (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{CBD}\) = \(\widehat{ACB}\) + \(\widehat{BCD}\)
=> \(\widehat{CBD}\) = \(\widehat{BCD}\) Do đó \(\Delta\)BCD cân tại D => BD = CD. b) Gọi giao điểm của AD và BC là E Xét \(\Delta\)BAD và \(\Delta\)CAD có: AB = AC (câu a) AD chung BD = CD (câu a) => \(\Delta\)BAD = \(\Delta\)CAD (c.c.c) => \(\widehat{BAD}\) = \(\widehat{CAD}\) (2 góc t/ư) hay \(\widehat{BAE}\) = \(\widehat{CAE}\) Xét \(\Delta\)ABE và \(\Delta\)ACE có: AB = AC (c/m trên) \(\widehat{BAE}\) = \(\widehat{CAE}\) (c/m trên) AE chung => \(\Delta\)ABE = \(\Delta\)ACE (c.g.c) => BE = CE (2 cạnh t/ư) (3) và \(\widehat{AEB}\) = \(\widehat{AEC}\) (2 góc t/ư) mà \(\widehat{AEB}\) + \(\widehat{AEC}\) = 180o=> \(\widehat{AEB}\) = \(\widehat{AEC}\) = \(\frac{180^o}{2}\) = 90o
Do vậy AE \(\perp\) BC hay AD \(\perp\) BC (4)
Từ (3) và (4) suy ra AD là đg trung trực của BC.
