Question

b1 dùng bđt cô-si cho a,b,c,d là số dương cmr

a)\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

b)\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{a+d}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\)

c)\(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{a+c+d}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+d}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}>2\)

d)\(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}>\frac{4\sqrt{6}}{a+2b}\)

b2

a)cho x,y<0 CMR\(\frac{1}{x^2+y^2}\)+\(\frac{1}{xy}\ge6\)

b)cho 0\(\le\)x\(\le\)2CMR\(\left(2x-x^2\right)\left(y-2y^2\right)\le\frac{1}{8}\)

cacs bn giải giùm mk cái mai mk phai nộp r thanks các bn nhìu

Answer 1

a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:

\(VT=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a =b = c

b)Tương tự câu a

c)\(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\)

Tương tự 3 BĐT còn lại và cộng theo vế ta được \(VT\ge2\)

Nhưng dấu "=" không xảy ra nên ta có đpcm.

d) Chưa nghĩ ra.

Bài 2:

a) Đề thiếu (or sai hay sao ý)

Answer 2

d, Với a,b >0.Áp dụng bđt svac-xơ có:

\(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{a}+\frac{2}{2b}\ge\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2}{a+2b}=\frac{5+2\sqrt{6}}{a+2b}>\frac{\sqrt{24}+2\sqrt{6}}{a+2b}\)

=> \(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}>\frac{4\sqrt{6}}{a+2b}\)