Question

a,Cho a +b =2 C/m \(B=a^5+b^5\ge2\)

b,Cho các số dường a,b,x,y t/m ĐK \(x^2+y^2=1\) và \(\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}=\dfrac{1}{a+b}\).C/m \(\dfrac{x}{\sqrt{a}}+\dfrac{\sqrt{b}}{y}\ge2\)

c,Với x,y là các số dương t/m: \(\left(xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\right)^2=2010\) .Tính \(A=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}\)

d,Chứng minh A=\(A=\sqrt{1+2008^2+\dfrac{2008^2}{2009^2}}+\dfrac{2008}{2009}\) có giá trị là 1 số tự nhiên

Answer 1

c) \(A^2=x^2\left(1+y^2\right)+y^2\left(1+x^2\right)+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\)

\(=x^2y^2+x^2+x^2y^2+y^2+1+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}-1\)

\(=x^2y^2+\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}-1\)

\(=\left[xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\right]^2-1=2010-1=2009\)

Vì A>0 nên \(A=\sqrt{2009}\)

Answer 2

d) \(2009^2=\left(2008+1\right)^2=2008^2+2.2008+1\)

\(1+2008^2=2009^2-2.2008=2009^2-2.2009\dfrac{2008}{2009}\)

\(A=\sqrt{2009^2-2.2009.\dfrac{2008}{2009}+\dfrac{2008^2}{2009^2}}+\dfrac{2008}{2009}\)

\(A=\sqrt{\left(2009-\dfrac{2008}{2009}\right)^2}+\dfrac{2008}{2009}=2009-\dfrac{2008}{2009}+\dfrac{2008}{2009}=2009\)

Answer 3

b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

\(\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2\right)}{a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)

Đẳng thức xảy ra khi: \(\dfrac{x^2}{a}=\dfrac{y^2}{b}\)

Vậy: Ta chứng minh được: \(x^2b=y^2a\Rightarrow x\sqrt{b}=y\sqrt{a}\)

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

\(\dfrac{x}{\sqrt{a}}+\dfrac{\sqrt{b}}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{\sqrt{a}}.\dfrac{\sqrt{b}}{y}}=2\)

Vậy ta có đpcm