Ta có:
$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} + \frac{c}{b}$
$\geq 6\sqrt[6]{\frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{a} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{b}} = 6$
Và:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} = \frac{a^2}{ac+bc}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+ab}$
$\leq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}$
Do đó, ta cần chứng minh:
$\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)} \leq \frac{3}{4} \cdot \frac{a+b}{c} + \frac{3}{4} \cdot \frac{b+c}{a} + \frac{3}{4} \cdot \frac{a+c}{b}$
Tương đương với:
$2(a^3+b^3+c^3)+3abc \geq \sum_{sym} a^2b$
Đây là bất đẳng thức Schur bậc 3, vì $a,b,c$ là số dương nên bất đẳng thức trên đúng. Vậy ta có:
$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b} \geq 4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)$
Và điều phải chứng minh đã được chứng minh. $\blacksquare$
