Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
An Nguyễn Thiện

a) cho x>1. CMR: \(\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\le\dfrac{1}{2}\)

b) Cho x,y >1. CMR: \(\dfrac{x^3+y^3-x^2+y^2}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\ge8\)

Akai Haruma
14 tháng 8 2017 lúc 14:59

Lời giải:

a)

Với \(x>1\Rightarrow x-1>0\). Áp dụng BĐT AM-GM:

\(x=(x-1)+1\geq 2\sqrt{x-1}\)

\(\Rightarrow \frac{\sqrt{x-1}}{x}\leq \frac{\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{2}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra ki \(x-1=1\Leftrightarrow x=2\)

b) Trước tiên, ta có bđt phụ sau:

\(x^3+y^3\geq xy(x+y)\)

\(\Leftrightarrow (x-y)^2(x+y)\geq 0\) (luôn đúng với mọi \(x,y>1\) )

Do đó, \(\frac{x^3+y^3-(x^2+y^2)}{(x-1)(y-1)}\geq \frac{xy(x+y)-x^2-y^2}{(x-1)(y-1)}\geq 8\)

\(\Leftrightarrow xy(x+y)-(x^2+y^2)\geq 8(x-1)(y-1)\)

\(\Leftrightarrow x^2(y-1)+y^2(x-1)-8(x-1)(y-1)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (y-1)[x^2-4(x-1)]+(x-1)[y^2-4(y-1)]\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (y-1)(x-2)^2+(x-1)(y-2)^2\geq 0\)

(luôn đúng với mọi \(x,y>1\) )

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=2\)


Các câu hỏi tương tự
An Nguyễn Thiện
Xem chi tiết
Duong Thi Nhuong
Xem chi tiết
Đạt Nguyễn
Xem chi tiết
An Nguyễn Thiện
Xem chi tiết
An Nguyễn Thiện
Xem chi tiết
Duong Thi Nhuong
Xem chi tiết
Duong Thi Nhuong
Xem chi tiết
Helooooooooo
Xem chi tiết
Diệp Minh
Xem chi tiết