Question

a, b \(\in\) R+ thỏa mãn :

a¹⁰⁰ + b¹⁰⁰ = a ¹⁰¹+ b ¹⁰¹ = a¹⁰² + b ¹⁰²

Tính P = a²⁰¹⁷+ b²⁰⁷

Answer 1

Lời giải:

\(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\Rightarrow a^{100}(a-1)+b^{100}(b-1)=0(*)\)

\(a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\Rightarrow a^{101}(a-1)+b^{101}(b-1)=0(**)\)

Lấy \((**)-(*)\Rightarrow a^{100}(a-1)(a-1)+b^{100}(b-1)(b-1)=0\)

\(\Leftrightarrow a^{100}(a-1)^2+b^{100}(b-1)^2=0(I)\)

Ta thấy \(a^{100}(a-1)^2\geq 0\forall a\in\mathbb{R}^+; b^{100}(b-1)^2\geq 0\forall b\in\mathbb{R}^+\)

Do đó $(I)$ xảy ra khi và chỉ khi:

\(a^{100}(a-1)^2=b^{100}(b-1)^2=0\)

Kết hợp với $a,b>0$ nên \(a-1=b-1=0\Leftrightarrow a=b=1\)

\(\Rightarrow P=a^{2017}+b^{2017}=1+1=2\)