Question

3.Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác cmr:

2a²b²+2b²c²+2a²c² -a⁴-b⁴-c⁴ >0

Answer 1

\(Xét:\\ A=\left(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2+2b^2c^2-2c^2a^2\right)-4b^2c^2\\ \Leftrightarrow\left(a^2-b^2-c^2\right)-4b^2c^2\\ \Leftrightarrow\left(a^2-b^2-c^2+2bc\right)\left(a^2-b^2-c^2-2bc\right)\\ \Leftrightarrow\left[a^2-\left(b-c\right)^2\right]\left[a^2-\left(b+c\right)^2\right]\\ \Leftrightarrow\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b-c\right)\left(a+b+c\right)\)

Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên A < 0

\(A< 0\Leftrightarrow B=-\left(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2\right)>0\)