Dấu bằng xảy ra khi đẳng thức VT = VP biện luận để tìm ra bài này chắc là tam giác đều
Lời giải:
Ta sử dụng BĐT phụ sau (BĐT Bunhiacopxky):
$(x^2+y^2)(z^2+t^2)\geq (xz+yt)^2$.
Chứng minh BĐT này đơn giản. Bạn biến đổi tương đương thì BĐT còn lại $(xt-yz)^2\geq 0$ (luôn đúng)
---------------------------------
Áp dụng BĐT trên vào bài toán:
Với $x=\sqrt{\frac{1}{a+b-c}}; y=\sqrt{\frac{1}{b+c-a}}; z=\sqrt{a+b-c}; t=\sqrt{b+c-a}$, ta có:
$\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\right)[(a+b-c)+(b+c-a)]\geq (1+1)^2$
$\Rightarrow \frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\geq \frac{4}{2b}=\frac{2}{b}(1)$.
Tương tự:
$\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{2}{a}(2)$
$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{2}{c}(3)$
Lấy $(1)+(2)+(3)$ theo vế và thu gọn ta có đpcm.
Trong bài BĐT, người ta thường yêu cầu CM $A\geq B, A\leq B$.
Đi tìm "Dấu = xảy ra" nghĩa là đi xác định giá trị của $a,b,c$ để $A=B$ thôi, chứ không phải $A>B$ hay $A<B$
Ví dụ trong bài này, dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$.
-----------------------------------------------
Ví dụ đơn giản hơn là cho $a,b$ dương thỏa mãn $a+b=2$. CMR $a^2+b^2\geq 2$.
Đi tìm dấu "=" xảy ra là ta đi tìm giá trị của $a,b$ mà $a^2+b^2=2$.
Đương nhiên, $a,b$ vẫn phải thỏa mãn điều kiện đề (>0; tổng bằng 2)
Từ những điều kiện trên ta suy ra $a=b=1$ chính là điểm mà dấu "=" xảy ra.
