Thôi, cho phép mình góp ý bài mình đã làm bằng cách đơn giản hơn nha ^^.
Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2010^2}\) ta có:
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4};...;\frac{1}{2010^2}< \frac{1}{2009.2010}\)
\(=A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2009.2010}\)
\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}\)
\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2010}\)
\(\Rightarrow A< 1\)
\(\Rightarrow A< \frac{3}{4}\)
Có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\); \(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\);...;\(\frac{1}{2010^2}< \frac{1}{2009.2010}\)
=> \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2010^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2009.2010}=1-\frac{1}{2010}=\frac{2009}{2010}\)Mà \(\frac{2009}{2010}>\frac{3}{4}\) -> Sai đề
Với mọi k ta luôn có \(k^2\ge k^2-1=\left(k-1\right)\left(k+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{k^2}\le\frac{1}{\left(k-1\right)\left(k+1\right)}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}\right)\)
Áp dụng vào ta suy ra
\(2A\le\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+...+\left(\frac{1}{2009}-\frac{1}{2011}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}< \frac{3}{2}\)
\(\frac{3}{4}\) chứ không phải \(\frac{3}{2}\) nha, mình ghi nhầm
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2010^2}< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2009.2010}\)
\(< \frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}\)
\(< \frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2010}\)
\(< \frac{3}{4}-\frac{1}{2010}< \frac{3}{4}\left(đpcm\right)\)
Cái bài mình làm ngắn hơn là sai rồi, bài mình làm dài hơn mới đúng nhé
