Question

1.Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình \(2^x+3=y^2\)

2.Giải phương trình: \(\sqrt{x^2+12}+5=3x+\sqrt{x^2+5}\)

Answer 1

Bài 1 chắc vầy quá:

Dễ thấy VT \(\ge2^0+3=1+3=4\) do đó VP = y² \(\ge4\Rightarrow y\ge2\)

Với y = 2 thì x = 0.

Với y > 2 : Với y chẵn, đặt y= 2y₁ (y₁ là số tự nhiên > 2)ta có:\(2^x+3=4y_1^2\Leftrightarrow2^x=4y_1^2-3>4.2^2-3=13\)

Do VP lẻ nên VT lẻ. Do đó x = 0 khi đó \(2^x=1< 13\)(vô lí, loại)

Với y lẽ, đặt y = 2k + 1(k là số tự nhiên > 0). Ta có: \(2^x=4k^2+4k-2\Leftrightarrow2^{x-1}=2k^2+2k-1\)(*)

x = 0 -> loại

x = 1 -> \(2k^2+2k=2\Leftrightarrow k\left(k+1\right)=1\) .VT chia hết cho 2 mà vp thì không -> loại

Với x > 1 thì vế trái của (*) là số chẵn. Mà VP là số lẻ nên loại.

Vậy (x;y) = (0;2)