Question

1.Tìm m để hàm số \(f\left(x\right)=\frac{x^2\left(x^2-2\right)+\left(2m^2-2\right)x}{\sqrt{x^2+1}-m}\) là hàm số chẵn

2. Cho hàm số \(y=2\left(m^2+1\right)x+2m^2-m-4\). Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua với mọi m

Answer 1

1.

ĐKXĐ: \(\sqrt{x^2+1}-m\ne0\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}\ne m\)

- Với \(m< 1\) hàm luôn xác định trên R

- Với \(m\ge1\Rightarrow x\ne\pm\sqrt{m}-1\Rightarrow\) miền xác định của hàm là miền đối xứng

Vậy miền xác định D của hàm luôn đối xứng với mọi m

Ta có:

\(f\left(-x\right)=\frac{\left(-x\right)^2\left[\left(-x\right)^2-2\right]+\left(2m^2-2\right).\left(-x\right)}{\sqrt{\left(-x\right)^2+1}-m}=\frac{x^2\left(x^2-2\right)-\left(2m^2-2\right)x}{\sqrt{x^2+1}-m}\)

Hàm đã cho chẵn khi và chỉ khi \(f\left(-x\right)=f\left(x\right)\) với mọi x thuộc TXĐ

\(\Leftrightarrow\frac{x^2\left(x^2-2\right)-\left(2m^2-2\right)x}{\sqrt{x^2+1}-m}=\frac{x^2\left(x^2-2\right)+\left(2m^2-2\right)x}{\sqrt{x^2+1}-m}\) ;\(\forall x\in D\)

\(\Leftrightarrow-\left(2m^2-2\right)x=\left(2m^2-2\right)x\); \(\forall x\in D\)

\(\Leftrightarrow2\left(2m^2-2\right)x=0\) ; \(\forall x\in D\)

\(\Leftrightarrow2m^2-2=0\Leftrightarrow m=\pm1\)

Answer 2

Câu 2 này đề đúng chứ?

\(y=2m^2x+2x+2m^2-m-4\)

\(\Leftrightarrow m^2\left(2x+2\right)+m.\left(-1\right)+\left(2x-y-4\right)=0\)

Điểm cố định là đồ thị hàm số luôn đi qua thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+2=0\\-1=0\\2x-y-4=0\end{matrix}\right.\) (không tồn tại x;y thỏa mãn)

Vậy ko tồn tại điểm cố định mà ĐTHS luôn đi qua

Answer 3

\(\overrightarrow{BI}=3\overrightarrow{CI}=3\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BI}\right)\Rightarrow\overrightarrow{BI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{AJ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) ; \(\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\)

Vậy:

\(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}\) (1)

\(\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AK}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{JK}=-\frac{5}{12}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\Rightarrow\frac{12}{5}\overrightarrow{JK}=-\overrightarrow{AB}-\frac{8}{5}\overrightarrow{BC}\) (2)

Cộng vế với vế (1) và (2):

\(\overrightarrow{AI}+\frac{12}{5}\overrightarrow{JK}=-\frac{1}{10}\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BC}=-10\overrightarrow{AI}-24\overrightarrow{JK}\)

Answer 4

chỉ cần câu 2 thôi ạ