Question

1.Phân tích đa thức thành nhân tử:9(x-1)²-4(2x+3)²

2.CMR \(x^2-x+\dfrac{9}{20}>0\forall x\)

3.Tìm hệ số a để đa thức \(f\left(x\right)=x^3-8x^2+ax-5\) chia hết cho đa thức g(x)=\(x^2-3x+1\)

4.Tìm chữ số x để số \(\overline{2017x}\)chia hết cho 12

5.Tính giá trị của \(A=\dfrac{3x^4-5x^2+3}{x^2}\)khi \(x+\dfrac{1}{x}=\sqrt{2017}\)

6.Tìm các số dương x,y,z thỏa mãn\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=3\\x+y+z+xy+yz+xz=6\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Bài 1:

Ta có: \(9(x-1)^2-4(2x+3)^2=(3x-3)^2-(4x+6)^2\)

\(=(3x-3-4x-6)(3x-3+4x+6)=-(x+9)(7x+3)\)

Bài 2:

Có: \(x^2-x+\frac{9}{20}=x^2-2x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{5}\)

Ta thấy \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\geq 0\forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow x^2-x+\frac{9}{20}\geq \frac{1}{5}>0\forall x\in\mathbb{R}\)

Ta có đpcm.

Bài 3:

Thực hiện phân tích:

\(f(x)=x^3-8x^2+ax-5=x(x^2-3x+1)-5(x^2-3x+1)+ax-16x\)

\(=(x-5)(x^2-3x+1)+ax-16x\)

Thấy rằng bậc của \(ax-16x\) nhỏ hơn bậc của $g(x)$ nên $ax-16x$ là dư của $f(x)$ cho $g(x)$

Để \(f(x)\vdots g(x)\Rightarrow ax-16x=0\forall x\Rightarrow a=16\)

Bài 4:

Để \(\overline{2017x}\vdots 12\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overline{2017x}\vdots 3(1)\\ \overline{2017x}\vdots 4(2)\end{matrix}\right.\)

\((1)\Leftrightarrow 2+0+1+7+x\vdots 3\Leftrightarrow 10+x\vdots 3\Leftrightarrow x+1\vdots 3\)

\((2)\Leftrightarrow \overline{7x}\vdots 4\Rightarrow x\in\left\{2;6\right\}\)

Từ hai điều trên suy ra \(x=2\)

Answer 2

Bài 5:

Ta có: \(x+\frac{1}{x}=\sqrt{2017}\Rightarrow \left(x+\frac{1}{x}\right)^2=2017\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+2=2017\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=2015\)

Như vậy: \(A=3x^2-5+\frac{3}{x^2}=3\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-5=3.2015-5=6040\)

Bài 6:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} x+y+z=a\\ xy+yz+xz=b\end{matrix}\right.\). ĐKĐB tương đương với:

\(\left\{\begin{matrix} a^2-2b=3\\ a+b=6\rightarrow b=6-a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2-2(6-a)=3\Leftrightarrow a^2-2a+15=0\Leftrightarrow (a+5)(a-3)=0\Leftrightarrow a=3\)

(do \(a\in\mathbb{R}^+\))

Kéo theo \(b=6-a=3\Rightarrow x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)

Theo BĐT AM-GM thì \(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\Rightarrow x=y=z=1\) do \(x+y+z=3\)