Question

1)CM: \(\forall\) số \(\in\) Z m,n thì 4mn(m² - n²) \(⋮\) 24

2) tìm tát cả các số có 4 chữ số \(\overline{abcd}\) sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=cd\\c+d=ab\end{matrix}\right.\)

3) Tìm tất cả các bộ 3 số nguyên tố khác nhau (a,b,c) thỏa:

abc < ab + bc +ca

Answer 1

Bài 1:

Chứng minh \(4mn(m^2-n^2)\vdots 8\)

+ Nếu \(m,n\) khác tính chẵn lẻ thì suy ra tồn tại một số chẵn và một số lẻ, do đó \(mn\vdots 2\Rightarrow 4mn(m^2-n^2)\vdots 8\)

+ Nếu \(m,n\) cùng tính chẵn lẻ thì \(m^2-n^2\vdots 2\Rightarrow 4mn(m^2-n^2)\vdots 8\)

Như vậy, \(4mn(m^2-n^2)\vdots 8\) \((1)\)

Chứng minh \(4mn(m^2-n^2)\vdots 3\)

+ Nếu tồn tại một trong hai số $m,n$ chia hết cho $3$ thì \(4mn(m^2-n^2)\vdots 3\)

+ Nếu cả hai số $m,n$ đều không chia hết cho $3$

Ta biết rằng một số chính phương chia 3 thì chỉ có thể có dư là $0$ hoặc $1$. Mà \(m,n\not\vdots 3\Rightarrow m^2\equiv n^2\equiv 1\pmod 3\Rightarrow m^2-n^2\vdots 3\)

\(\Rightarrow 4mn(m^2-n^2)\vdots 3\)

Như vậy, \(4mn(m^2-n^2)\vdots 3(2)\)

Từ \((1),(2)\) và $3,8$ nguyên tố cùng nhau nên \(4mn(m^2-n^2)\vdots 24\)

Ta có đpcm.