Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thị Dung

1)Chứng minh với mọi a,b dương ta có: a5 + b5 >= a3b2 + a2 b3

Dấu '=' xảy ra khi nào?

2) Cho a,b,c> 0 thoả mãn abc = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P= \(\dfrac{ab}{a^{5^{ }}+b^5+ab}\) + \(\dfrac{bc}{b^5+c^5+bc}\) + \(\dfrac{ca}{c^5+a^5+ca}\)

Akai Haruma
8 tháng 5 2018 lúc 23:11

Bài 1:

Sử dụng biến đổi tương đương. Ta có:

\(a^5+b^5\geq a^3b^2+a^2b^3\)

\(\Leftrightarrow a^5+b^5-a^3b^2-a^2b^3\geq 0\)

\(\Leftrightarrow a^3(a^2-b^2)-b^3(a^2-b^2)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (a^3-b^3)(a^2-b^2)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2)(a+b)\geq 0\) (luôn đúng với mọi $a,b$ dương)

Ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \((a-b)^2=0\Leftrightarrow a=b\)

Bài 2: Sử dụng kết quả bài 1:

\(a^5+b^5\geq a^3b^2+a^2b^3\Rightarrow a^5+b^5+ab\geq a^3b^2+a^2b^3+ab\)

\(\Rightarrow \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq \frac{ab}{a^3b^2+a^2b^3+ab}=\frac{1}{a^2b+ab^2+1}=\frac{1}{a^2b+ab^2+abc}=\frac{1}{ab(a+b+c)}\)

Hoàn toàn tt:

\(\frac{bc}{b^5+c^5+bc}\leq \frac{1}{bc(a+b+c)}; \frac{ca}{c^5+a^5+ac}\leq \frac{1}{ac(a+b+c)}\)

Do đó:
\(P\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}+\frac{1}{bc(a+b+c)}+\frac{1}{ac(a+b+c)}\). Thay \(1=abc\)

\(\Leftrightarrow P\leq \frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\) (đpcm)

 

 


Các câu hỏi tương tự
Vũ Nhung
Xem chi tiết
Trúc Giang
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Nguyễn Trọng Cương
Xem chi tiết
Nguyễn Trọng Cương
Xem chi tiết
Nguyễn Hiếu Phụng
Xem chi tiết
Hoàng Hạ Tố Như
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Nguyễn Huy Hoàng
Xem chi tiết