Bài 1:
Ta có \(x^2-2y^2=1\Rightarrow x^2=1+2y^2\)
TH1: \(y\equiv \pm 1\pmod 3\)
\(\Rightarrow y^2\equiv 1\pmod 3\rightarrow 1+2y^2\equiv 3\equiv 0\pmod 3\)
\(\Leftrightarrow x^2\equiv 0\pmod 3\Rightarrow x\vdots 3\)
Mà \(x\in\mathbb{P}\Rightarrow x=3\rightarrow y=2\) (thỏa mãn)
TH2: \(y\equiv 0\pmod 3\rightarrow y\vdots 3\)
Vì \(y\in\mathbb{P}\Rightarrow y=3\Rightarrow x^2=19\rightarrow x\not\in \mathbb{N}\) (loại)
Vậy \((x,y)=(3,2)\) là cặp nghiệm duy nhất.
Bài 2:
Ta có \(a^2+b^2+c^2< 2\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^2-2ab+c^2< 2\)
\(\Leftrightarrow (-c)^2-2ab+c^2<2\)
\(\Leftrightarrow c^2-ab<1\Leftrightarrow c^2< ab+1\) \((\star)\)
Thật vậy, do \(a,b>-1\Rightarrow (a+1)(b+1)>0\Leftrightarrow ab+1>-(a+b)\)
\(\Leftrightarrow ab+1-c>-(a+b+c)=0\)
\(\Leftrightarrow ab+1>c=c.1>c.c\Leftrightarrow ab+1>c^2\)
Do đó \((\star)\) đúng, ta có đpcm.
1.Tìm phương trình Pell
2>từ -1<a,b,c<1 suy ra a+1>0;1-a<0 hay gì đó .... rồi coojg hay nhân theo vế gì có
