2. Ta có: \(M=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\)
Thay a+b=1 vào M ta được
\(M=a^2-ab+b^2+ab\)
\(\Rightarrow M=a^2+b^2\)
\(\Rightarrow M=\left(a+b\right)^2-2ab\)
\(\Rightarrow M=1-2ab\)
Do a+b=1 \(\Leftrightarrow a=1-b\) thay vào M ta có:
\(M=1-2\left(1-b\right)b\)
\(\Rightarrow M=1-2b+2b^2\)
\(\Rightarrow M=2\left(b^2-b+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow M=2\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2}\forall b\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b-\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow b=\dfrac{1}{2}\)
Và a+b=1\(\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(Min_M=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
