Question

1. giải các bất phương trình sau :

a, \(\sqrt{x^2-2x-15}\le x-4\)

b, \(\sqrt{x^2+14x}>x+6\)

c, \(\left(x-3\right)\sqrt{x^2-4}\le x^2-9\)

d, \(\sqrt{5x^2+10x+1}\ge7-2x-x^2\)

Answer 1

a/ - Với \(x\le-3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VP< 0\\VT\ge0\end{matrix}\right.\) BPT vô nghiệm

- Với \(x\ge5\) hai vế đều ko âm, bình phương:

\(x^2-8x+16\ge x^2-2x-15\)

\(\Leftrightarrow6x\le31\Rightarrow x\le\frac{31}{6}\)

Vậy nghiệm của BPT là \(5\le x\le\frac{31}{6}\)

b/ - Với \(x\le-14\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT\ge0\\VP< 0\end{matrix}\right.\) BPT luôn thỏa mãn

- Với \(x\ge0\) , bình phương 2 vế:

\(x^2+14x>x^2+12x+36\)

\(\Leftrightarrow2x>36\Rightarrow x>18\)

Vậy nghiệm của BPT là \(\left\{{}\begin{matrix}x>18\\x\le-14\end{matrix}\right.\)

Answer 2

c/ \(\left(x-3\right)\left[x+3-\sqrt{x^2-4}\right]\le0\)

- Với \(x=3\) thỏa mãn

- Với \(x>3\Rightarrow x+3\le\sqrt{x^2-4}\)

\(\Leftrightarrow x^2+6x+9\le x^2-4\Rightarrow x\le-\frac{13}{6}\) (vô nghiệm)

- Với \(x< 3\Rightarrow x+3\ge\sqrt{x^2-4}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-3\\x^2+6x+9\ge x^2-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-3\le x\le-\frac{13}{6}\)

Vậy nghiệm của BPT là \(\left[{}\begin{matrix}x=3\\-3\le x\le-\frac{13}{6}\end{matrix}\right.\)

d/ Đặt \(\sqrt{5x^2+10x+1}=t\ge0\Rightarrow x^2+2x=\frac{t^2-1}{5}\)

\(t\ge7-\frac{t^2-1}{5}\Leftrightarrow t^2+5t-36\ge0\) \(\Rightarrow t\ge4\)

\(\Rightarrow\sqrt{5x^2+10x+1}\ge4\)

\(\Leftrightarrow5x^2+10x-15\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge1\\x\le-3\end{matrix}\right.\)