Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ánh Dương

1. chứng minh với mọi a, b, c dương ta luôn có \(\frac{1}{a\left(1+b\right)}+\frac{1}{b\left(1+c\right)}+\frac{1}{c\left(1+a\right)}\ge\frac{3}{1+abc}\)

2. tìm x nguyên để \(x^4-x^3+2x+2\) là số chính phương

Phạm Minh Quang
23 tháng 10 2019 lúc 13:08

\(x^3\)hay \(x^2\)

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Việt Lâm
23 tháng 10 2019 lúc 13:48

1/ \(P=\frac{1}{a\left(1+b\right)}+\frac{1}{b\left(1+c\right)}+\frac{1}{c\left(1+a\right)}\)

Đặt \(abc=k^3\)

Khi đó luôn tồn tại \(x;y;z\) dương sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{ky}{x}\\b=\frac{kz}{y}\\c=\frac{kx}{z}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=\frac{1}{\frac{ky}{x}\left(1+\frac{kz}{y}\right)}+\frac{1}{\frac{kz}{y}\left(1+\frac{kx}{z}\right)}+\frac{1}{\frac{kx}{z}\left(1+\frac{ky}{x}\right)}=\frac{x}{k\left(y+kz\right)}+\frac{y}{k\left(z+kx\right)}+\frac{z}{k\left(x+ky\right)}\)

\(\Rightarrow P=\frac{1}{k}\left(\frac{x^2}{xy+kzx}+\frac{y^2}{yz+kxy}+\frac{z^2}{zx+kyz}\right)\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{k\left(k+1\right)\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{3\left(xy+yz+zx\right)}{k\left(k+1\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{k\left(k+1\right)}\)

Mặt khác ta luôn có: \(k^3+1\ge k\left(k+1\right)\) với mọi k dương

Thật vậy, \(\Leftrightarrow\left(k+1\right)\left(k^2-k+1\right)\ge k\left(k+1\right)\)

\(\Leftrightarrow k^2-k+1\ge k\)

\(\Leftrightarrow\left(k-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

\(\Rightarrow P\ge\frac{3}{k\left(k+1\right)}\ge\frac{3}{1+k^3}=\frac{3}{1+abc}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Hoàng Quốc Tuấn
Xem chi tiết
Hoàng Quốc Tuấn
Xem chi tiết
Ánh Right
Xem chi tiết
bt ko
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
le duc minh vuong
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết
Phác Chí Mẫn
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết