1. Cho\(\Delta\)ABC nhọn có 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H.Trên HB và HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho \(\widehat{AMC}=\widehat{ANB}=90^o\).Chứng minh AM=AN
2 Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A , đường cao AH .Biết \(\frac{AB}{AC}=\frac{20}{21}\)và AH =420 .Tính chu vi tam giác
3 Cho hình thang ABCD vuông tại A và D . Hai đường chéo vuông góc với nhau với nhau tại O .Biết AB=\(2\sqrt{13}\),OA= 6 ,tính diện tích hình thang ABCD
1.
Xét tam giác $ABD$ và $ACE$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{A}-\text{chung}\\ \widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ABD\sim \triangle ACE(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}\Rightarrow AE.AB=AC.AD(1)\)
Xét tam giác $ADM$ và $AMC$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \text{A}-\text{chung}\\ \widehat{ADM}=\widehat{AMC}(=90^0)\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ADM\sim \triangle AMC(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{AD}{AM}=\frac{AM}{AC}\Rightarrow AM^2=AD.AC(2)\)
Xét tam giác $AEN$ và $ANB$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{A}-\text{chung}\\ \widehat{AEN}=\widehat{ANB}(=90^0)\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle AEN\sim \triangle ANB(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{AE}{AN}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow AN^2=AE.AB(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow AM^2=AN^2\Rightarrow AM=AN\) (đpcm)
Bài 2:
Vì \(\frac{AB}{AC}=\frac{20}{21}\Rightarrow \frac{AB}{20}=\frac{AC}{21}\).
Đặt \(\frac{AB}{20}=\frac{AC}{21}=a\Rightarrow AB=20a; AC=21a\)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABC ta có:
\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(20a)^2+(21a)^2}=29a\)
\(S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}=\frac{AH.BC}{2}\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{20a.21a}{29a}=\frac{420}{29}a=420\)
\(\Rightarrow a=29\)
Chu vi tam giác $ABC$ là:
\(P=AB+AC+BC=20a+21a+29a=70a=70.29=2030\) (đơn vị độ dài)
Bài 3:
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $ABO$:
\(OB=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{(2\sqrt{13})^2-6^2}=4\)
$AB\parallel CD$ nên áp dụng định lý Ta-let:
\(\frac{OD}{OB}=\frac{OC}{OA}\Leftrightarrow \frac{OD}{4}=\frac{OC}{6}\).
Đặt \(\frac{OD}{4}=\frac{OC}{6}=a(a>0)\Rightarrow OD=4a; OC=6a\). Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $DOC$:
\(DC=\sqrt{OD^2+OC^2}=\sqrt{(4a)^2+(6a)^2}=2\sqrt{13}a\)
Áp dụng đl Pitago cho tam giác vuông $ABD$ và $ADC$:
\(AD^2=BD^2-AB^2=AC^2-DC^2\)
\(\Leftrightarrow (4a+4)^2-(2\sqrt{13})^2=(6a+6)^2-(2\sqrt{13}a)^2\)
\(\Leftrightarrow -8a^2+10a+18=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a=-1(\text{loại})\\ a=\frac{9}{4}\end{matrix}\right.\)
Do đó: \(DC=2\sqrt{13}a=\frac{9\sqrt{13}}{2}; AD=\sqrt{(4a+4)^2-(2\sqrt{13})^2}=3\sqrt{13}\)
\(S_{ABCD}=\frac{(AB+CD).AD}{2}=\frac{(2\sqrt{13}+4,5\sqrt{13}).3\sqrt{13}}{2}=126,75\)
