Question

1, Cho x > 0, y > 0, x + y \(\le\)1

Tìm MinA = \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\)

2, Tìm Min và max của P = \(\frac{x^2+1}{x^2-x+1}\)

3, Cho (x + y)² + 7(x + y) +y² + 10 = 0

Tìm min, Max của P = x + y + 1

4, Cho x > 0, y > 0 và x + y \(\le\)1

CMR : \(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge4\)

Answer 1

1.

Đầu tiên ta cm: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\forall a,b>0\)

Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{ab}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\) (cô si)

Dấu "=" khi a = b.

Áp dụng:

\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\) \(=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)+\frac{5}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}\cdot4xy}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)

\(=4+2+5=11\)

Vậy Min_A = 11 khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Answer 2

\(P=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}\Leftrightarrow x^2+1=P\left(x^2-x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+1-Px^2+Px-P=0\)(*)

\(\Leftrightarrow\left(1-P\right)x^2+Px+\left(1-P\right)=0\)

\(\Delta=P^2-4\left(1-P\right)^2\)

\(=P^2-4\left(1-2P+P^2\right)=-3P^2+8P-4\)

Để P có GTNN và GTLN thì phương trình (*) có nghiệm

\(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow-3P^2+8P-4\ge0\)

\(\Leftrightarrow-3P^2+2P+6P-4\ge0\)

\(\Leftrightarrow-P\left(3P-2\right)+2\left(3P-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(3P-2\right)\left(2-P\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\le P\le2\)

Vậy \(min_P=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=-1\); \(max_P=2\Leftrightarrow x=1\)

Answer 3

\(\left(x+y\right)^2+7\left(x+y\right)+y^2+10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+2\cdot\left(x+y\right)\cdot\frac{7}{2}+\frac{49}{4}-\frac{9}{4}=-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{9}{4}=-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(x+y+5\right)=-y^2\le0\)

Vì \(x+y+2< x+y+5\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+2\le0\\x+y+5\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-5\le x+y\le-2\)

\(\Leftrightarrow-4\le x+y+1\le-1\)

Vậy: \(Min=-4\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=0\end{matrix}\right.;Max=-1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\y=0\end{matrix}\right.\)

Answer 4

4. Câu này easy hơn câu 1:

\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)

Dấu = khi x = y =\(\frac{1}{2}\)

Answer 5

tran nguyen bao quanPhùng Tuệ MinhThảo Nguyễn Phạm Phương?Amanda?Luân Đàonà níKhôi Bùi YPhạm Hoàng Hải AnhNguyễn Thành TrươngNguyễn Huy TúAkai HarumaAce LegonaNguyễn Thanh HằngRibi Nkok NgokMysterious Personsoyeon_Tiểubàng giảiVõ Đông Anh TuấnPhương AnTrần Việt Linh