Question

1) Cho tam giác ABC có AB < AC . Kẻ tia phân giác AD , D \(\in\) BC . Trên cạnh AC lấy điểm E , trên tia AB lấy điểm F sao cho AE = AB , AF =AC. Chứng ming rằng :

a) Tam giác ABD = tam giác AED

b) tam giác BDF = tam giác EDC

c) AD vuông góc với CF

2) Cho tam giác ABC . Goi M là trung điểm của BC . Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA

a) Chứng minh tam giác AMC = tam giác EMB

b) Chứng minh AC // BE

c) Gọi I là trung điểm của AC , K là trung điểm của BE . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng

Answer 1

1) a)Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AED\) có:

AB=AE (gt)

\(\widehat{BAD}\) = \(\widehat{DAE}\) ( do AD là tia phân giác \(\widehat{BAC}\) )

chung AD

=> \(\Delta ABD\) = \(\Delta AED\) (c - g - c )

b)Vì \(\Delta ABD\) = \(\Delta AED\) nên BD = DE và \(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{AED}\)

Vì \(\widehat{ABD}\) == \(\widehat{AED}\) => 180\(^0\) - \(\widehat{ABD}\) = 180\(^0\) - \(\widehat{AED}\)

=> \(\widehat{FBD}\) = \(\widehat{DEC}\)

Ta có : AF = AC => AB + BF = AE + EC mà AB = AE nên BF = EC

Xét \(\Delta BDF\) và \(\Delta EDC\) có :

BD =DE

\(\widehat{FBD}\) = \(\widehat{DEC}\)

BF = EC

=> \(\Delta BDF\) = \(\Delta EDC\) (c-g-c)

c)Gọi giao điểm của AD và FC là O

Vì tam giác AFC có FA = AC nên \(\Delta AFC\) là tam giác cân tại A

Xét \(\Delta AFÒ\) và \(\Delta ACO\) có:

\(\widehat{FAO}\) = \(\widehat{OAC}\)

\(\widehat{AFO}\) = \(\widehat{ACO}\)

=> \(\widehat{AOF}\) = \(\widehat{AOC}\) mà \(\widehat{AOF}\) + \(\widehat{AOC}\) = 180\(^0\)

=> \(\widehat{AOF}\) = \(\widehat{AOC}\) = 90\(^0\) => AD\(\perp FC\)

Answer 2

Bài 2:

a) Xét \(\Delta\)AMC và \(\Delta\)EMB có:

AM = EM (gt)

\(\widehat{AMC}\) = \(\widehat{EMB}\) (đối đỉnh)

MC = MB (suy từ gt)

=> \(\Delta\)AMC = \(\Delta\)EMB (c.g.c)

b) Vì \(\Delta\)AMC = \(\Delta\)EMB

=> \(\widehat{ACM}\) = \(\widehat{EBM}\) (2 góc t/ư)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AC // BE

c) Do \(\Delta\)AMC = \(\Delta\)EMB

=> AC = EB (2 cạnh t/ư)

mà AI = \(\frac{1}{2}\)AC; KE = \(\frac{1}{2}\)EB => AI = KE

Vì AC // BE nên \(\widehat{IAM}\) = \(\widehat{KEM}\) (so le trong)

Xét \(\Delta\)IAM và \(\Delta\)KEM có:

\(\widehat{IAM}\) = \(\widehat{KEM}\) (c/m trên)

AM = EM (gt)

AI = KE (c/m trên)

=> \(\Delta\)IAM = \(\Delta\)KEM (c.g.c)

=> \(\widehat{AMI}\) = \(\widehat{EMK}\) (2 góc t/ư) (1)

mà \(\widehat{AMK}\) + \(\widehat{EMK}\) = 180^o (kề bù) (2)

Thay (1) vào (2) ta đc:

\(\widehat{AMK}\) + \(\widehat{AMI}\) = 180^o

mà 2 góc này kề nhau nên I, K, M thẳng hàng.