1: Cho tam giác ABC cân tại A.Trên tia đối của tia BA và CA Lấy hai điểm D vàE sao cho BD= CE
a, CM DE// BC
b,Từ D kẻ DM vuông góc BC , từ E kẻ EN vuông góc BC . CM DM= EN
c, CM tam giác AMN cân
d, Từ B và C kẻ các đường vuông góc với AM,AN.Chúng cắt nhau tại I . CM AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và MAN
Giải:
a) Ta có: AB = AC ( t/g ABC cân tại A )
BD = CE ( gt )
\(\Rightarrow AD=AE\)
\(\Rightarrow\Delta ADE\) cân tại A
\(\widehat{A_1}+\widehat{B_1}+\widehat{C_1}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{B_1}+\widehat{C_1}=180^o-\widehat{A_1}\)
Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) ( t/g ABC cân tại A )
\(\Rightarrow\widehat{C_1}=\frac{180^o-\widehat{A_1}}{2}\) (1)
\(\widehat{A_1}+\widehat{D_1}+\widehat{E_1}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{D_1}+\widehat{E_1}=180^o-\widehat{A_1}\)
Mà \(\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\) ( t/g ADE cân tại A )
\(\Rightarrow\widehat{E_1}=\frac{180^o-\widehat{A_1}}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{E_1}\)
\(\Rightarrow\)DE // BC ( đpcm )
b) Ta có: \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) ( \(\Delta ABC\) cân tại A )
\(\Rightarrow\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\)
Xét \(\Delta BMD,\Delta CNE\) có:
\(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\left(cmt\right)\)
\(\widehat{M_1}=\widehat{N_1}=90^o\)
BD = CE ( gt )
\(\Rightarrow\Delta BMD=\Delta CNE\) ( c.huyền - g.nhọn )
\(\Rightarrow DM=EN\) ( cạnh t/ứng ) ( đpcm )
c) Vì \(\Delta BMD=\Delta CNE\)
\(\Rightarrow BM=CN\) ( cạnh t/ứng )
\(\Rightarrow BM+BC=CN+BC\)
\(\Rightarrow MC=NB\)
Xét \(\Delta AMC,\Delta ANB\) có:
MC = NB ( cmt )
\(\widehat{C_1}=\widehat{B_1}\) ( t/g ABC cân tại A )
AC = AB ( t/g ABC cân tại A )
\(\Rightarrow\Delta AMC=\Delta ANB\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{M_1}=\widehat{N_1}\) ( góc t/ứng )
\(\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại A ( đpcm )
d) Gợi ý: +) Chứng minh \(\Delta MBH=\Delta NCK\left(g-c-g\right)\)
sau đó => t/g BIC cân tại C
Xét \(\Delta ABI=\Delta ACI\) => AI là tia phân giác của góc BAC (1)
Chứng minh \(\Delta AHI=\Delta AKI\) ( c.huyền - c.g.vuông )
=> AI là tia phân giác của góc AMN (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
Vậy...
