Chương 2: HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Tú Uyênn

1. Cho hai số dương x, y thỏa mãn \(\log_2\frac{x^2+5y^2}{x^2+10xy+y^2}+1+x^2-10xy+9y^2\le0\). Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của \(P=\frac{x^2+xy+9y^2}{xy+y^2}\) Tính \(T=10M-m\)

A. 50

B. 60

C. 104

D. 94

2. Cho hai số dương x, y thỏa mãn \(\log_2\left(4x+y+2xy+2\right)^{y+2}=8-\left(2x-2\right)\left(y+2\right)\). GTNN của biểu thức \(P=2x+y\) có dạng \(M=a\sqrt{b}+c\) với a, b, c \(\in\) N, a>2. Tính \(S=a+b+c\)

A. 19

B. 3

C. 17

D. 7

Nguyễn Việt Lâm
23 tháng 8 2020 lúc 11:58

1.

\(log_2\frac{x^2+5y^2}{x^2+10xy+y^2}+1+x^2-10xy+9y^2\le0\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(x^2+5y^2\right)+1+2\left(x^2+5y^2\right)-log_2\left(x^2+10xy+y^2\right)-\left(x^2+10xy+y^2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow log_22\left(x^2+5y^2\right)+2\left(x^2+5y^2\right)\le log_2\left(x^2+10xy+y^2\right)+x^2+10xy+y^2\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=log_2t+t\Rightarrow f'\left(t\right)=\frac{1}{t.ln2}+1>0;\forall t>0\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow x^2+10xy+y^2\ge2\left(x^2+5y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-10xy+9y^2\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-9y\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow y\le x\le9y\)

\(\Leftrightarrow1\le\frac{x}{y}\le9\)

\(P=\frac{x^2+xy+9y^2}{xy+y^2}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2+\frac{x}{y}+9}{\frac{x}{y}+1}\)

Đặt \(\frac{x}{y}=t\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\in\left[1;9\right]\\P=f\left(t\right)=\frac{t^2+t+9}{t+1}\end{matrix}\right.\)

\(f'\left(t\right)=\frac{t^2+2t-8}{\left(t+1\right)^2}=0\Rightarrow t=2\)

\(f\left(1\right)=\frac{11}{2}\) ; \(f\left(2\right)=5\) ; \(f\left(9\right)=\frac{99}{10}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}M=\frac{99}{10}\\m=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow10M-m=94\)

Akai Haruma
23 tháng 8 2020 lúc 12:04

Bài 1:

Ta có:

$\log_2\frac{x^2+5y^2}{x^2+10xy+y^2}+1+x^2-10xy+9y^2\leq 0$

$\Leftrightarrow \log_2(x^2+5y^2)-\log_2(x^2+10xy+y^2)+1+x^2-10xy+9y^2\leq 0$

$\Leftrightarrow \log_2(x^2+5y^2)+1+(2x^2+10y^2)-\log_2(x^2+10xy+y^2)-(x^2+10xy+y^2)\leq 0$

$\Leftrightarrow \log_2(2x^2+10y^2)+(2x^2+10y^2)\leq \log_2(x^2+10xy+y^2)+(x^2+10xy+y^2)(*)$

Xét hàm:

$f(t)=\log_2(t)+t$ với $t>0$ ta có: $f'(t)=\frac{1}{t\ln 2}+1>0$ với mọi $t>0$

Suy ra hàm $f(t)$ đồng biến trên $t\in (0;+\infty)$

Do đó $(*)\Rightarrow$ $2x^2+10y^2\leq x^2+10xy+y^2$

$\Leftrightarrow x^2-10xy+9y^2\leq 0$

$\Leftrightarrow (x-y)(x-9y)\leq 0$

$\Leftrightarrow y\leq x\leq 9y\Leftrightarrow 1\leq \frac{x}{y}\leq 9$

Đặt $\frac{x}{y}=k$ thì $1\leq k\leq 9$

$P(k)=\frac{x^2+xy+9y^2}{xy+y^2}=\frac{k^2+k+9}{k+1}=k+\frac{9}{k+1}$

$P'(k)=1-\frac{9}{(k+1)^2}=0\Leftrightarrow k=2$

Lập BBT ta thấy $P_{\min}=P(2)=5; P_{\max}=P(9)=\frac{99}{10}$
$\Rightarrow M=\frac{99}{10}; m=5$

$\Rightarrow T=10.\frac{99}{10}-5=94$

Đáp án D.

Nguyễn Việt Lâm
23 tháng 8 2020 lúc 12:11

2.

\(\Leftrightarrow\left(y+2\right)log_2\left(2x+1\right)\left(y+2\right)=8-\left(2x-2\right)\left(y+2\right)\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)\left(y+2\right)=\frac{8}{y+2}-2x+2\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)+log_2\left(y+2\right)=\frac{8}{y+2}-2x+2\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)+\left(2x+1\right)=-log_2\left(y+2\right)+3+\frac{8}{y+2}\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)+\left(2x+1\right)=log_2\left(\frac{8}{y+2}\right)+\frac{8}{y+2}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=log_2t+t\Rightarrow f'\left(t\right)=\frac{1}{t.ln2}+1>0;\forall t>0\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến \(\Rightarrow2x+1=\frac{8}{y+2}\)

\(\Rightarrow2x=\frac{8}{y+2}-1=\frac{6-y}{y+2}\)

\(\Rightarrow P=2x+y=y+\frac{6-y}{y+2}=y+\frac{8}{y+2}-1\)

\(\Rightarrow P=y+2+\frac{8}{y+2}-3\ge2\sqrt{\frac{8\left(y+2\right)}{y+2}}-3=4\sqrt{2}-3\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=2\\c=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b+c=3\)

Akai Haruma
23 tháng 8 2020 lúc 12:16

Bài 2: Mình nghĩ điều kiện sửa thành $a,b\in\mathbb{N}$ thôi thì đúng hơn.
ĐKĐB $\Leftrightarrow \log_2[(2x+1)(y+2)]^{y+2}=8-(2x-2)(y+2)$

$\Leftrightarrow (y+2)\log_2[(2x+1)(y+2)]=8-(2x-2)(y+2)$

$\Leftrightarrow (y+2)[\log_2[(2x+1)(y+2)]+(2x-2)]=8$

$\Leftrightarrow \log_2[(2x+1)(y+2)]+(2x-2)]=\frac{8}{y+2}$

$\Leftrightarrow \log_2(2x+1)+\log_2(y+2)+(2x+1)-3=\frac{8}{y+2}$
$\Leftrightarrow \log_2(2x+1)+(2x+1)=\frac{8}{y+2}+3-\log_2(y+2)=\frac{8}{y+2}+\log_2(\frac{8}{y+2})(*)$

Xét hàm $f(t)=\log_2t+t$ với $t>0$

$f'(t)=\frac{1}{t\ln 2}+1>0$ với mọi $t>0$

Do đó hàm số đồng biến trên TXĐ
$\Rightarrow (*)$ xảy ra khi mà $2x+1=\frac{8}{y+2}$

$\Leftrightarrow 8=(2x+1)(y+2)$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$8=(2x+1)(y+2)\leq \left(\frac{2x+1+y+2}{2}\right)^2$

$\Rightarrow 2\sqrt{2}\leq \frac{2x+y+3}{2}$

$\Rightarrow 2x+y\geq 4\sqrt{2}-3$

Vậy $P_{\min}=4\sqrt{2}-3$

$\Rightarrow a=4; b=2; c=-3$

$\Rightarrow a+b+c=3$

Đáp án B.


Các câu hỏi tương tự
Tú Uyênn
Xem chi tiết
Pham Tien Dat
Xem chi tiết
Bao Phat
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
AllesKlar
Xem chi tiết
AllesKlar
Xem chi tiết
Phạm Trần Phát
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh Đức
Xem chi tiết
Minh Anh
Xem chi tiết