Question

1. Cho dãy số (U_n), biết U₁=1 và Un=U_n-1+2, n ≥2. Hãy tìm công thức số hạng tổng quát U_n theo n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp .

2. Xét tính tăng giảm của dãy số (U_n) biết V₁=1, V_n=2V_n-1+1, n ≥ 2.

Answer 1

\(u_n=1+2\left(n-1\right)=1+2n-2=2n-1\left(\text{*}\right)\)

Chứng minh

Với \(n=1\)

\(VT=1;VP=2\cdot1-1=1=VT\)

Vậy \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=1\)

Giả sử \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k\ge1\) tức là

\(u_k=u_{k-1}+2=2k-1\)

Ta chứng minh \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k+1\)

Thật vậy, từ giả thuyết quy nạp ta có

\(u_{k+1}=u_k+2=2k-1+2=2k+2-1=2\left(k+1\right)-1\)

Vậy ...