1. cho các số thực x,y thỏa mãn \(x+y\in Z;x^2+y^2\in Z;x^4+y^4\in Z\). Cmr: \(x^3+y^3\in Z\)
2. giair pt và hpt : a) \(\frac{x^3+14}{2+x}=2\sqrt{\frac{x^3-3x+4}{x+1}}+3\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}2x^3+3x^2y=5\\y^3+6xy^2=7\end{matrix}\right.\)
3. Cmr: \(\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{3}{1+abc}\)
Bài 2:
b) Với y = 0 thì vt của pt thứ 2 = 0 => loại.
Xét y khác 0:
Nhân pt thứ nhất với \(\frac{7}{5}\) rồi trừ đi pt thứ 2 thu được:
\(\frac{14}{5}x^3+\frac{21}{5}x^2y-y^3-6xy^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{5}\left(x-y\right)\left(14x^2+35xy+5y^2\right)=0\)
Với x = y, thay vào pt thứ 2:
\(7x^3=7\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1\)
Với \(14x^2+35xy+5y^2=0\)
\(\Leftrightarrow14\left(\frac{x}{y}\right)^2+35\left(\frac{x}{y}\right)+5=0\)
Đặt \(\frac{x}{y}=t\) suy ra: \(14t^2+35t+5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\frac{-35+3\sqrt{105}}{28}\\t=\frac{-35-3\sqrt{105}}{28}\end{matrix}\right.\)
Nghiệm xấu quá, chị tự thay vào giải nốt :D. Nhớ check xem em có tính nhầm chỗ nào ko:D
3/ Sửa phân thức thứ 3 thành: \(\frac{1}{1+c^3}\).
Quy đồng lên ta cần chứng minh: \(\frac{\Sigma_{cyc}\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)}{\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+c^3\right)}\ge\frac{3}{1+abc}\)
\(\Leftrightarrow abc\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)+2abc\left(a^3+b^3+c^3\right)-3a^3b^3c^3-\left[a^3+b^3+c^3-3abc+2\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\right]\ge0\)Đến đây chắc là đổi biến sang pqr rồi làm nốt ạ! Hơi trâu bò tí, cách khác em chưa nghĩ ra.
Bài 1:
Ta thấy:
\(\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\in\mathbb{Z}\\ x+y\in\mathbb{Z}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2xy\in\mathbb{Z}(1)\)
\(\left\{\begin{matrix} x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2\in\mathbb{Z}\\ x^2+y^2\in\mathbb{Z}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2x^2y^2\in\mathbb{Z}(2)\)
Từ $(1);(2)$. Đặt $2xy=a$ thì $2x^2y^2=2(xy)^2=\frac{a^2}{2}$. Để $2x^2y^2$ nguyên thì $a^2\vdots 2$ hay $a$ chẵn. Suy ra $xy=\frac{a}{2}\in\mathbb{Z}$
Từ đây ta thấy $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$ là số nguyên do $x+y,xy$ đều nguyên.
Ta có đpcm.
Câu 1:
\(\left(x+y\right)^2-\left(x^2+y^2\right)=2xy\Rightarrow2xy\in Z\)
\(\left(x^2+y^2\right)^2-\left(x^4+y^4\right)=2x^2y^2\Rightarrow2x^2y^2\in Z\)
Mà \(2x^2y^2=\frac{\left(2xy\right)^2}{2}\in Z\Rightarrow2xy⋮2\Rightarrow xy\in Z\)
\(\Rightarrow x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\in Z\)
Câu 2: ĐKXĐ: ...
\(\Leftrightarrow\frac{x^3-3x+8}{x+2}=2\sqrt{\frac{x^3-3x+4}{x+1}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3-3x+8}{x+2}-4=2\left(\sqrt{\frac{x^3-3x+4}{x+1}}-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3-7x}{x+2}=\frac{2\left(x^3-7x\right)}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{\frac{x^3-3x+4}{x+1}}+2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^3-7x=0\\2\left(x+2\right)=\left(x+1\right)\left(\sqrt{\frac{x^3-3x+4}{x+1}}+2\right)\end{matrix}\right.\)
Pt dưới \(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^3-3x+4\right)\left(x+1\right)}=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3-3x+4\right)\left(x+1\right)=4\)
\(\Leftrightarrow x^4+x^3-3x^2+x=0\)
\(\Leftrightarrow...\)
Câu 3 chắc là số dương (vì thử với số âm và 0 thấy BĐT sai)
Trước hết ta có BĐT quen thuộc: \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\) (bạn tự c/m)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\ge\frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{abc^4}}\)
\(\ge2\left(\frac{2}{1+\sqrt[4]{a^3b^3abc^4}}\right)=\frac{4}{1+abc}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{3}{1+abc}\)
Vũ Minh Tuấn, tth, Linh Phương, Duyên, Toàn Nguyễn Đức, Akai Haruma, @Trần Thanh Phương,
@Nguyễn Việt Lâm, @Nguyễn Thị Ngọc Thơ
giúp e vs! tí nx phải nộp r
thanks nhiều!
