Diện tích HCN là \(xy=400\Rightarrow y=\dfrac{400}{x}\)
Bán kính của hình tròn, \(R\), bằng nửa đường chéo của hình chữ nhật. Sử dụng định lý Pitago, ta có:
\(\left(2R\right)^2=x^2+y^2\)
\(\Leftrightarrow4R^2=x^2+\left(\dfrac{400}{x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow R^2=\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{40000}{x^2}\)
Diện tích hình tròn :
\(S\left(tròn\right)=\pi R^2=\pi.\left(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{40000}{x^2}\right)\)
Diện tích của bốn phần đất trồng :
\(S\left(trồng\right)=\pi.\left(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{40000}{x^2}\right)-400\)
mà \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{40000}{x^2}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{4}.\dfrac{40000}{x^2}}=200\left(Bđt.Cauchy\right)\)
\(\Rightarrow S\left(trồng\right)\ge200\pi-400\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{40000}{x^2}\Leftrightarrow x=20\)
\(\Rightarrow y=\dfrac{400}{x}=\dfrac{400}{20}=20\)
\(\Rightarrow\) Hình chữ nhật sẽ trở thành hình vuông có cạnh là \(20\left(m\right)\) để tổng diện tích của bốn phần đất trồng cỏ là nhỏ nhất.
