Bài 16a.
Ta thấy: $6^2=6\times 6$ có tận cùng là 6
$6^3=6^2\times 6=\overline{...6}\times 6$ có tận cùng là $6$
$6^4=6^3\times 6=\overline{...6}\times 6$ có tận cùng là $6$
Cứ nhân mãi thế thì suy ra $6^{100}$ cũng có tận cùng là $6$
$\Rightarrow 6^{100}-1$ có tận cùng là $5$
Suy ra $6^{100}-1$ chia hết cho 5.
16b.
Ta thấy $21^{20}$ là số lẻ
$11^{10}$ cũng là số lẻ
$\Rightarrow 21^{20}-11^{10}$ là số chẵn (tức là chia hết cho $2$)
Mặt khác:
$21^20=\underbrace{21.21...21}_{20}$ có tận cùng là $1$
$11^{10}=\underbrace{11.11.11...11}_{10}$ có tận cùng là $1$
$\Rightarrow 21^{20}-11^{10}$ tận cùng là $0$
$\Rightarrow 21^{20}-11^{10}$ chia hết cho 5
Do đó ta có điều phải chứng minh.
Bài 17:
a. $\overline{aaa}=a\times 100+a\times 10+a=a\times (100+10+1)$
$=a\times 111=a\times 37\times 3\vdots 3$ (điều phải chứng minh)
b. $\overline{aaa}=a\times 111=a\times 37\times 3\vdots 9$ khi mà $a\times 37\vdots 3$
$\Rightarrow a\vdots 3$
Vì $a$ là số tự nhiên có 1 chữ số và $a\neq 0$ nên $a\in\left\{3; 6; 9\right\}$
Bài 18:
Nếu $n$ là số lẻ thì $n+3$ là số chẵn (lẻ + lẻ = chẵn)
$\Rightarrow (n+3)(n+6)$ là số chẵn.
Nếu $n$ là số chẵn thì $n+6$ là số chẵn (chẵn + chẵn = chẵn)
$\Rightarrow (n+3)(n+6)$ là số chẵn
Vậy $(n+3)(n+6)$ là số chẵn với mọi $n$ tự nhiên.
Tức là $(n+3)(n+6)\vdots 2$
Bài 19:
a. $n+12\vdots n$
$\Rightarrow 12\vdots n$
$\Rightarrow n$ là ước tự nhiên của 12
$\Rightarrow n\in\left\{1; 2; 3; 4; 6; 12\right\}$
b.
$15-4n\vdots n$
$\Rightarrow 15\vdots n$
$\Rightarrow n$ là ước tự nhiên của $15$
Mà $n< 4$ nên $n\in\left\{1;3\right\}$
Bài 20:
a.
$n+13\vdots n-5$
$\Rightarrow (n-5)+18\vdots n-5$
$\Rightarrow 18\vdots n-5$
$\Rightarrow n-5$ là ước dương của $18$ (vì $n>5$)
$\Rightarrow n-5\in\left\{1; 2; 3; 6; 9;18\right\}$
$\Rightarrow n\in\left\{6; 7; 8; 11; 14; 23\right\}$
b.
$15-2n\vdots n+1$
$\Rightarrow 17-2(n+1)\vdots n+1$
$\Rightarrow 17\vdots n+1$
$\Rightarrow n+1$ là ước tự nhiên của $17$
$\Rightarrow n+1\in\left\{1; 17\right\}$
$\Rightarrow n\in\left\{0; 16\right\}$
Vì $n\leq 7$ nên $n=0$
c.
$6n+9\vdots 4n-1$
$\Rightarrow 2(6n+9)\vdots 4n-1$
$\Rightarrow 12n+18\vdots 4n-1$
$\Rightarrow 3(4n-1)+21\vdots 4n-1$
$\Rightarrow 21\vdots 4n-1$
$\Rightarrow 4n-1$ là ước của $21$. Vì $n\geq 1$ nên $4n-1\geq 3$
$\Rightarrow 4n-1\in\left\{3; 7; 21\right\}$
$\Rightarrow n\in\left\{1; 2; \frac{11}{2}\right\}$
Vì $n$ tự nhiên nên $n\in\left\{1;2\right\}$
