Question

Answer 1

a) \(\widehat{A}=\widehat{D}=90^0\Rightarrow\)ABCD là hình thang vuông tại A.

*Hạ đường cao BH của △BCD.

Tứ giác ABHD có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAD}=\widehat{ADH}=\widehat{BHD}=90^0\\AB=AD\end{matrix}\right.\).

\(\Rightarrow\)ABHD là hình vuông.

\(\Rightarrow HD=BH=AB=\dfrac{CD}{2}\).

\(\Rightarrow\)H là trung điểm CD.

△BCD có: BH vừa là trung tuyến vừa là đường cao, \(BH=\dfrac{CD}{2}\)

\(\Rightarrow\)△BCD vuông cân tại B.

*Gọi E là trung điểm AD.

△ABD có: M là trung điểm AB, E là trung điểm AD.

\(\Rightarrow\)ME là đường trung bình của △ABD.

\(\Rightarrow ME=\dfrac{BD}{2}\) mà \(BN=\dfrac{BC}{2};BC=BD\Rightarrow ME=BN\).

\(DE=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{AB}{2}=BM\).

\(\widehat{MED}=180^0-\widehat{AEM}=180^0-45^0=135^0\).

\(\widehat{MBN}=\widehat{ABD}+\widehat{DBC}=45^0+90^0=135^0\).

△MED và △NBM có: \(ME=NB;DE=MB;\widehat{MED}=\widehat{NBM}=135^0\)

\(\Rightarrow\)△MED=△NBM (c-g-c).

\(\Rightarrow MD=MN;\widehat{EDM}=\widehat{BMN}\).

\(\widehat{NMD}=180^0-\widehat{BMN}-\widehat{AMD}=180^0-\widehat{ADM}-\widehat{ÁMD}=180^0-90^0=90^0\)

\(\Rightarrow\)△NMD vuông tại M mà \(MD=MN\)

\(\Rightarrow\)△NMD vuông cân tại M.

 

 

Answer 2

b) *Qua K dựng đường thẳng song song với BD cắt AD tại E.

\(\widehat{KED}=180^0-\widehat{AKE}=180^0-45^0=135^0\).

\(\widehat{AKE}=45^0\Rightarrow\)△AKE vuông cân tại A.

\(\Rightarrow AK=AE\Rightarrow BK=BD\).

\(\widehat{BKI}+\widehat{EKD}=180^0-\widehat{IKD}-\widehat{AKE}=180^0-90^0-45^0=45^0\)

Mà \(\widehat{BKI}+\widehat{BIK}=180^0-\widehat{KBI}=180^0-135^0=45^0\)

\(\Rightarrow\widehat{EKD}=\widehat{BIK}\).

△KED và △IBK có: \(\widehat{EKD}=\widehat{BIK};ED=BK;\widehat{KED}=\widehat{IBK}=135^0\)

\(\Rightarrow\)△KED=△IBK (g-c-g).

\(\Rightarrow KD=IK\) mà \(\widehat{IKD}=90^0\)

\(\Rightarrow\)△DKI vuông cân tại K.