Theo đề, ta có: A(-7;3); B(-3;5); C(6;5); D(8;2); E(3;2)
A(-7;3); B(-3;5); C(6;5)
\(AB=\sqrt{\left(-3+7\right)^2+\left(5-3\right)^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5\)
\(CA=\sqrt{\left(6+7\right)^2+\left(5-3\right)^2}=\sqrt{13^2+2^2}=\sqrt{169+4}=\sqrt{173}\)
\(BC=\sqrt{\left(6+3\right)^2+\left(5-5\right)^2}=9\)
Xét ΔABC có
\(cosBAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)
\(=\frac{20+173-81}{2\cdot2\sqrt5\cdot\sqrt{173}}=\frac{112}{4\sqrt{865}}=\frac{28}{\sqrt{865}}\)
=>\(\sin BAC=\sqrt{1-\left(\frac{28}{\sqrt{865}}\right)^2}=\frac{9}{\sqrt{865}}\)
Diện tích tam giác BAC là:
\(S_{BAC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)
\(=\frac12\cdot2\sqrt5\cdot\sqrt{173}\cdot\frac{9}{\sqrt{865}}=9\)
C(6;5); D(8;2); E(3;2)
\(CD=\sqrt{\left(8-6\right)^2+\left(2-5\right)^2}=\sqrt{2^2+\left(-3\right)^2}=\sqrt{13}\)
\(CE=\sqrt{\left(3-6\right)^2+\left(2-5\right)^2}=3\sqrt2\)
\(DE=\sqrt{\left(3-8\right)^2+\left(2-2\right)^2}=5\)
Xét ΔCDE có \(cosDCE=\frac{CD^2+CE^2-DE^2}{2\cdot CD\cdot CE}\)
\(=\frac{13+18-25}{2\cdot\sqrt{13}\cdot3\sqrt2}=\frac{6}{6\sqrt{26}}=\frac{1}{\sqrt{26}}\)
=>\(\sin DCE=\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)^2}=\frac{5}{\sqrt{26}}\)
Diện tích tam giác DCE là:
\(S_{DCE}=\frac12\cdot CD\cdot CE\cdot\sin DCE\)
\(=\frac12\cdot\sqrt{13}\cdot3\sqrt2\cdot\frac{5}{\sqrt{26}}=\frac{15}{2}=7,5\)
=>Diện tích tam giác BAC lớn hơn diện tích tam giác DCE là 9-7,5=1,5\(\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
Gọi hoành độ của các điểm A,B,C,D,E lần lượt là a,b,c,d,e
Hoành độ của các điểm A,B,C,D,E lần lượt tỉ lệ với -7;-3;6;8;3
=>\(\frac{a}{-7}=\frac{b}{-3}=\frac{c}{6}=\frac{d}{8}=\frac{e}{3}\)
Tổng các hoành độ là 3,5 nên a+b+c+d+e=3,5
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{a}{-7}=\frac{b}{-3}=\frac{c}{6}=\frac{d}{8}=\frac{e}{3}=\frac{a+b+c+d+e}{-7-3+6+8+3}=\frac{3.5}{7}=0,5\)
=>\(a=-7\cdot0,5=-3,5\) ; \(b=-3\cdot0,5=-1,5\) ; \(c=6\cdot0,5=3\) ; \(d=8\cdot0,5=4\) ; \(e=3\cdot0,5=1,5\)
A(-3,5; 3); B(-1,5; 5); C(3;5); D(4;2); E(1,5;2)
A(-3,5;3); B(-1,5;5); C(3;5)
\(AB=\sqrt{\left(-1,5+3,5\right)^2+\left(5-3\right)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2\)
\(AC=\sqrt{\left(3+3,5\right)^2+\left(5-3\right)^2}=\sqrt{6,5^2+2^2}=\sqrt{46,25}=\frac{\sqrt{185}}{2}\)
\(BC=\sqrt{\left(3+1,5\right)^2+\left(5-5\right)^2}=4,5\)
Xét ΔABC có
\(cosBAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)
\(=\frac{8+46,25-4,5^2}{2\cdot2\sqrt2\cdot\frac{\sqrt{185}}{2}}=\frac{34}{\sqrt{370}\cdot2}=\frac{17}{\sqrt{370}}\)
=>\(\sin BAC=\sqrt{1-\frac{289}{370}}=\sqrt{\frac{81}{370}}=\frac{9}{\sqrt{370}}\)
Diện tích tam giác BAC là:
\(S_{BAC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)
\(=\frac12\cdot2\sqrt2\cdot\frac{\sqrt{185}}{2}\cdot\frac{9}{\sqrt{370}}=9\cdot\frac{2}{2\cdot2}=\frac92=4,5\)
C(3;5); D(4;2); E(1,5;2)
\(CD=\sqrt{\left(4-3\right)^2+\left(2-5\right)^2}=\sqrt{10}\)
\(CE=\sqrt{\left(1,5-3\right)^2+\left(2-5\right)^2}=\sqrt{11,25}=\sqrt{\frac{45}{4}}=\frac{3\sqrt5}{2}\)
\(DE=\sqrt{\left(1,5-4\right)^2+\left(2-2\right)^2}=2,5\)
Xét ΔCDE có \(cosC=\frac{CD^2+CE^2-DE^2}{2\cdot CD\cdot CE}\)
\(=\frac{10+11,25-6,25}{2\cdot\sqrt{10}\cdot\frac{3\sqrt5}{2}}=\frac{15}{3\sqrt{50}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt2}\)
=>\(\sin C=\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2}=\frac{1}{\sqrt2}\)
Diện tích tam giác CDE là:
\(S_{CDE}=\frac12\cdot CD\cdot CE\cdot\sin C\)
\(=\frac12\cdot\sqrt{10}\cdot\frac{3\sqrt5}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt2}=\frac34\cdot\frac{\sqrt{50}}{\sqrt2}=\frac34\cdot5=\frac{15}{4}=3,75\)
Vì 4,5>3,75
nên diện tích tam giác ABC lớn hơn diện tích tam giác CDE là:
4,5-3,75=0,75
=>Chọn A
