Đặt: \(b+c-a=2x\) ; \(c+a-b=2y\);\(a+b-c=2z\)
vì trong tam giác có tổng 3 cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại nên x,y,z >0
và a=y+z ; b=z+x; c=x+y
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số dương, ta có:
\(2P=4\left(\dfrac{y+z}{x}\right)+9\left(\dfrac{z+x}{y}\right)+16\left(\dfrac{x+y}{z}\right)=\left(\dfrac{4y}{x}+\dfrac{9x}{y}\right)+\left(\dfrac{4z}{x}+\dfrac{16x}{z}\right)+\left(\dfrac{9z}{y}+\dfrac{16y}{z}\right)\ge12+16+24=52\)
=> P \(\ge\) 26
Dấu = xảy ra <=> \(\dfrac{y}{x}=\dfrac{3}{2};\dfrac{z}{x}=2;\dfrac{z}{y}=\dfrac{4}{3}\)
Hay z=2x = 4/3y => \(a=\dfrac{7}{6}b=\dfrac{7}{5}c\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 26 đạt đc khi \(z=2x=\dfrac{4}{3}y=>a=\dfrac{7}{6}b=\dfrac{7}{5}c\)
