VD10:
a: \(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AP}\)
\(=\frac12\cdot\overrightarrow{BC}+\frac12\cdot\overrightarrow{CA}+\frac12\cdot\overrightarrow{AB}\)
\(=\frac12\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right)=\frac12\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)
b: \(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BM}\)
\(=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC}+\frac12\cdot\overrightarrow{BC}\)
\(=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)-\frac12\cdot\overrightarrow{AC}=\frac12\cdot\overrightarrow{AC}-\frac12\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\)
c: Xét ΔABC có AM là đường trung tuyến
nên \(\overrightarrow{AM}=\frac12\cdot\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
Xét ΔABC có BN là đường trung tuyến
nên \(\overrightarrow{BN}=\frac12\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)\)
Xét ΔACB có CP là đường trung tuyến
nên \(\overrightarrow{CP}=\frac12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\)
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}\)
\(=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)=\frac12\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)
\(\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)-\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}\right)\)
\(=\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}\right)+\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{ON}\right)+\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OP}\right)\)
\(=\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}\right)+\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{NO}\right)+\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{PO}\right)=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{PC}\)
\(=-\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}\right)=\overrightarrow{0}\)
=>\(\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)=\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}\right)\)
Vd11:
a: \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}\)
\(=-\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{AC}\)
\(=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\)
b: ABCD là hình bình hành tâm O
=>O là trung điểm chung của AC và BD
O là trung điểm của AC
=>\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\) (1)
O là trung điểm của BD
=>\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=2\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)
c: \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{CD}\)
d: Xét ΔMAC có MO là đường trung tuyến
nên \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\cdot\overrightarrow{MO}\) (3)
Xét ΔMBD có MO là đường trung tuyến
nên \(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\cdot\overrightarrow{MO}\) (4)
Từ (3),(4) suy ra \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\)
