Bài 4:
a: ABCD là hình vuông
=>\(AC^2=AB^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2\)
=>\(AC=a\sqrt2\)
ABCD là hình vuông
=>AB=BC=CD=DA=a
ABCD là hình vuông
=>BD=AC
=>\(BD=a\sqrt2\)
\(\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\right|\)
\(=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a\sqrt2\)
b: \(\left|\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=a\sqrt2\)
c: Gọi H là trung điểm của BC
=>\(BH=CH=\frac{a}{2}\)
ΔABH vuông tại B
=>\(AB^2+BH^2=AH^2\)
=>\(AH^2=a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{5a^2}{4}\)
=>\(AH=\frac{a\sqrt5}{2}\)
Xét ΔABC có AH là đường trung tuyến
nên \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\cdot\overrightarrow{AH}\)
=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot AH=a\sqrt5\)
Bài 3:
a; Ta có: \(AN=ND=\frac{AD}{2}\)
\(BN=NC=\frac{BC}{2}\)
mà AD=BC
nên AN=ND=BN=NC
Xét tứ giác ABMN có
AN//BM
AN=BM
Do đó: ABMN là hình bình hành
=>\(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BN}\)
=>\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{NB}\)
=>\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{NB}\)
b: Xét tứ giác AMCN có
AN//CM
AN=CM
Do đó: AMCN là hình bình hành
=>\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}\) (1)
ABCD là hình bình hành
=>\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)
c: \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{MC}\)
Do đó: \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DN}\)
