Gọi 2015 số đã cho là 𝑎ଵ < 𝑎ଶ < ⋯ < 𝑎ଶ଴ଵହ. - Từ giả thiết ta có 𝑎ଶ଴ଵହ ≤ 2019. Vì 𝑎ଶ଴ଵସ < 𝑎ଶ଴ଵହ ≤ 3019 nên ta phải có 𝑎ଶ଴ଵସ ≤ 2018. Lập luận tương tự ta được 𝑎ଶ଴ଵଷ < 𝑎ଶ଴ଵସ ≤ 2018, do đó 𝑎ଶ଴ଵଷ ≤ 2017, cứ như vậy ta được: 𝑎ଶ଴ଵଶ ≤ 2016; 𝑎ଶ଴ଵଵ ≤ 2015; ⋯ ; 𝑎ଵ ≤ 5 (∗). - Ta xét hai nhóm sau (có tổng cộng 3020 số):  Nhóm 1: {𝑎ଶ − 𝑎ଵ; 𝑎ଷ − 𝑎ଵ; ⋯ ; 𝑎ଶ଴ଵହ − 𝑎ଵ }. Tất cả các số ở nhóm 1 đều bé hơn 𝑎ଶ଴ଵହ ≤ 2019.  Nhóm 2: {𝑎ଶ + 𝑎ଷ; 𝑎ଶ + 𝑎ସ; 𝑎ଷ + 𝑎ସ; 𝑎ଷ + 𝑎ହ; ⋯ ; 𝑎ହ଴ସ + 𝑎ହ଴ହ; 𝑎ହ଴ସ + 𝑎ହ଴଺}. Tất cả các số ở nhóm 2 đều không quá 𝑎ହ଴ସ + 𝑎ହ଴଺ ≤ (504 + 4) + (506 + 4) < 2019 (theo (∗)). Ta có 3020 số, tất cả các số đều nhận giá trị từ 1 đến 3019 nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai số bằng nhau. Vì 𝑎ଵ, 𝑎ଶ, ⋯ , 𝑎ଶ଴ଵହ phân biệt nên các số ở nhóm 1 phân biệt, các số ở nhóm 2 phân biệt. Vậy hai số giống nhau nói trên phải khác nhóm, tức là tồn tại 𝑖,𝑗, 𝑘 thỏa mãn: 𝑎௜ − 𝑎ଵ = 𝑎௝ + 𝑎௞ ⟹ 𝑎௜ = 𝑎ଵ + 𝑎௝ + 𝑎௞ ∎