Cho đường tròn ( O , R ) và I cố định trong đường tròn. Qua I kẻ 2 dây AB, CD vuông góc tại I.

a) Chứng minh rằng: AB² + CD² không đổi.

b) Xác định vị trí AB và CD để ( AB + CD ) max.

△ ABC, Â = 90^o, AH ⊥ BC. HE ⊥ AB, HF ⊥ AC. Chứng minh:

1, AE. AB = AF. AC + AF. FC

2, BH. HC = AE. EB + AF. FC

3, \(\frac{AB^3}{AC^3}=\frac{BE}{CF}\)

4, AB + AC ≤ \(\sqrt{2}.BC\)

5, AB. AC ≥ \(\frac{BC^2}{4}\)

Tìm GTNN :

A = \(\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}\)

Tìm max S = -x + \(\sqrt{x-2}+2\sqrt{x+1}+10\)

Cho x ≥ \(\frac{-1}{2}\). Tìm max S = \(\sqrt{2x^2+5x+2}+2\sqrt{x+3}-2x\)

Cho đường tròn ( O; AB ). Dây CD giao nhau với AB tại I, CB không song song AB. Kẻ AM và BN vuông góc với CD. Chứng minh: MC = MD

△ ABC có 3 góc nhọn. BD và CE là 2 đường cao cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) HD. HB = HE. HC

b) △ HDE ∼ △ HCB

c) BC² = BH. BD + CH. CE

Cho tam giác ABC có góc  = 120^o. AB = 6, AC = 10 cm. AD là phân giác Â. Tính AD.