Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), phân giác trong AD (D thuộc cạnh BC). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, trên tia đối của tia DA lấy điểm K sao cho góc KBC = 45 độ, đường thẳng qua A vuông góc với AD cắt KM tại N.
a) Chứng minh rằng tam giác KBC vuông cân 
b) Phân giác của góc ABC cắt AC tại I . Gọi E là giao điểm của AC và MN. Chứng minh rằng góc ENC = 45 độ và KI² = KM.KN

Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia BA lấy điểm E. Đường thẳng EC cắt đường thẳng AD tại F. Gọi H là giao điểm của BC và ED, G là giao điểm của FB và CD.

1. Tính giá trị biểu thức AC/FA + AC/EA

2. Gọi giao điểm của AC và BF là O. Chứng minh rằng EO đi qua trung điểm của đoạn thẳng AF.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

 B  = xy.(xy - 8) + 5x² + 3y² - 2x - 8y + 2036

Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn) , đường cao AH cắt tia phân giác BD tại điểm I. Gọi M là hình chiếu của điểm H trên cạnh AC, K là trung điểm của HM. Biết AI = 5 cm, HI = 4 cm. Tính độ dài cạnh BC.

Cho hai số thực x,y thoả mãn: x>-1, y >1 và x+y = 1. Tìm min của biểu thức P = (x+1 + 1/x+1)^2 + (y-1 + 1/y-1)^2

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn: x^2 + 5y^2 + 4xy  = 2023

Giải phương trình: /x - 2014/^2015  +  / x - 2015/^2014 = 1

Cho a,b,c dương thoả mãn: abc≥1. CMR: 

\(\left(a+\dfrac{1}{a+1}\right).\left(b+\dfrac{1}{b+1}\right).\left(c+\dfrac{1}{c+1}\right)\ge\dfrac{27}{8}\)