C69.10:

Ta có: \(2P=\dfrac{2}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dfrac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+\dfrac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\dfrac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}\)

\(>\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\dfrac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}\)

\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{4}+...+\sqrt{80}-\sqrt{79}+\sqrt{81}-\sqrt{80}\)

\(=\sqrt{81}-1=8\)

\(\Leftrightarrow2P>8\Leftrightarrow P>4\)

C69.11:

Đặt \(P=\dfrac{3a+3b+2c}{\sqrt{6\left(a^2+5\right)}+\sqrt{6\left(b^2+5\right)}+\sqrt{c^2+5}}\)

Ta có: \(P=\dfrac{3a+3b+3c}{\sqrt{\left(3a+3b\right)\left(2a+2c\right)}+\sqrt{\left(3a+3b\right)\left(2b+2c\right)}+\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(\ge\dfrac{3a+3b+2c}{\dfrac{3a+3b+2a+2c}{2}+\dfrac{3a+3b+2b+2c}{2}+\dfrac{a+c+b+c}{2}}=\dfrac{3a+3b+2c}{\dfrac{9a+9b+6c}{2}}\)

\(=\dfrac{2\left(3a+3b+2c\right)}{3\left(3a+3b+2a\right)}=\dfrac{2}{3}\)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=1, c=2.

C69.8:

Ta có: \(\dfrac{2y+3z+5}{1+x}+1+\dfrac{3z+x+5}{1+2y}+1+\dfrac{x+2y+5}{1+3z}+1=\dfrac{x+2y+3z+6}{1+x}+\dfrac{x+2y+3z+6}{1+2y}+\dfrac{x+2y+3z+6}{1+3z}\)\(=\dfrac{24}{1+x}+\dfrac{24}{1+2y}+\dfrac{24}{1+3z}\ge\dfrac{24\left(1+1+1\right)^2}{x+2y+3z+3}=\dfrac{24.9}{18+3}=\dfrac{72}{7}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2y+3z+5}{1+x}+\dfrac{3z+x+5}{1+2y}+\dfrac{x+2y+5}{1+3z}\ge\dfrac{72}{7}-3=\dfrac{51}{7}\)

Dấu ''='' xảy ra khi x=6, y=3, z=2.

C69.7

BĐT\(\Leftrightarrow-\left(\dfrac{\sqrt{3a+bc}}{a+\sqrt{3a+bc}}+\dfrac{\sqrt{3b+ac}}{b+\sqrt{3a+ac}}+\dfrac{\sqrt{3c+ab}}{c+\sqrt{3c+ab}}\right)\le-2\)

\(\Leftrightarrow\Sigma\left(1-\dfrac{\sqrt{3a+bc}}{a+\sqrt{3a+bc}}\right)\le1\Leftrightarrow\Sigma\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le1\)

Thật vậy: \(\Sigma\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\Sigma\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2}}=\Sigma\dfrac{a}{a+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}\)

\(=\Sigma\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1.

Lo mải hít drama mà quên mất:")

C69.3:

\(VT=\dfrac{a^2}{a+ab^2c}+\dfrac{b^2}{b+bc^2d}+\dfrac{c^2}{c+cd^2a}+\dfrac{d^2}{d+da^2b}\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{a+b+c+d+ab^2c+cd^2a+da^2b+bc^2d}\)

\(=\dfrac{16}{4+\left(ab+cd\right)\left(bc+ad\right)}\ge\dfrac{16}{4+\left(\dfrac{ab+bc+cd+ad}{4}\right)^2}=\dfrac{16}{4+\left[\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{2}\right]^2}\)

\(\ge\dfrac{16}{4+\left[\dfrac{\left(\dfrac{a+b+c+d}{2}\right)^2}{2}\right]^2}=\dfrac{16}{4+\left[\dfrac{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2}{2}\right]^2}=2\)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=d=1.

À acc này của mình phải là cái acc thứ mấy chục rồi bạn:v

Em biết đến hoc24 cũng lâu rồi ạ. Em nhớ mang mang biết đến web mình vào khoảng năm 2015-2016 gì đó, giờ cũng được tầm 5-6 năm rồi:v Hồi đó vô nghịch là chính, chat chit linh tinh, nhưng cũng vui lắm, một thời gian dài sau phải nghì dùng vì lý do riêng, sau đó rồi quay lại, lúc đấy không còn đi đăng xàm xí lên diễn đàn, hay comment lấy SP, chat chit linh tinh nữa nhưng thấy cũng buồn buồn nhớ nhớ ấy, nhớ mấy đứa hồi xưa ngồi nhắn tin điên khùng với mình ghê á:")))

C69.4:

ĐKXĐ: \(\dfrac{4}{5}\le x\le5\)

Ta có: \(3\sqrt{5-x}+3\sqrt{5x-4}=2x+7\)

\(\Leftrightarrow2x+7-3\sqrt{5-x}-3\sqrt{5x-4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(7-x-3\sqrt{5-x}\right)+\left(3x-3\sqrt{5x-4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-5x+4}{\left(7-x+3\sqrt{5-x}\right)}+\dfrac{9\left(x^2-5x+4\right)}{\left(3x+3\sqrt{5x-4}\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-5x+4\right)\left[\dfrac{1}{7-x+3\sqrt{5-x}}+\dfrac{9}{3x+3\sqrt{5x-4}}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-5x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=1\end{matrix}\right.\) (tm ĐKXĐ)

Vậy....

ĐKXĐ: \(x\ge5\)

Ta có: \(\sqrt{x^2-25}-6=3\sqrt{x+5}-2\sqrt{x-5}\)

Đặt \(\sqrt{x-5}=a\left(a\ge0\right)\)

       \(\sqrt{x+5}=b\left(b\ge0\right)\)

Pt trở thành: \(ab-6=3b-2a\)

\(\Leftrightarrow3b-2a-ab+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b+2\right)\left(3-a\right)=0\)

Vì \(b\ge0\Rightarrow b+2>0\)

\(3-a=0\)

\(\Leftrightarrow3=\sqrt{x-5}\Leftrightarrow x-5=9\Leftrightarrow x=14\) (Tm ĐKXĐ)

Vậy...

f) Ta có: Chu vi tứ giác \(AMNB\) = AM+MN+NB+AB=AM+AD+DN+NB+2OA=2(AM+NB)+2OA

Theo bđt Côsi: \(AM+NB\ge2\sqrt{AM.NB}=2\sqrt{R^2}=2R\)

=> \(C_{AMNB}\ge4R+2R=6R\)

Vậy khi điểm D nằm chính giữa cung AB thì chu vi tứ giác AMNB bé nhất.