Giải hệ pt: \(\left\{{}\begin{matrix}x^3+8y^3-4xy^2=1\\2x^4+8y^4-2x-y=0\end{matrix}\right.\)

Cho đường tròn (O;R) và một điểm A cố định ở bên ngoài đường tròn, OA=2R. Từ A kẻ các tiếp tuyến, AB,AC đến đường tròn (O)(B,Clà các tiếp điểm). Đường thẳng OA cắt dây BC tại I. Gọi M là điểm di động trên cung nhỏBC. Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt AB, AClần lượt tại E, F. Dây BC cắt OE, OFlần lượt tại các điểm Pvà Q

a) Chứng minh rằng góc ABI=60^o và tứ giác OBEQ nội tiếp

b) Chứng minh rằng EF = 2PR

c) Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BCsao cho tam giác OPQ có diện tích nhỏ nhất. Tính diện tích nhỏ nhất đó theo R

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB., vẽ đường kính CD (không vuông góc với AB). AC và AD cắt tiếp tuyến tại B của (O) tại M và N. Gọi I là trung điểm của AD.

a) Chứng minh tứ giác OINB nội tiếp.

b) Chứng minh: AI.AN = 2R².

c) Chứng minh: góc CDM = góc CNM.

d) Gọi K là trung điềm của MN. Chứng minh:

e) Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN. Tính KF theo R. Từ đó suy ra F luôn thuộc một đường thẳng cố định khi đường kính CD thay đổi.

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB., vẽ đường kính CD (không vuông góc với AB). AC và AD cắt tiếp tuyến tại B của (O) tại M và N. Gọi I là trung điểm của AD. a) Chứng minh tứ giác OINB nội tiếp b) Chứng minh: AI.AN = 2R² c) Chứng minh: góc CDM = góc CNM d) Gọi K là trung điềm của MN. Chứng minh: \(AK\perp CD\) e) Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN. Tính KF theo R. Từ đó suy ra F luôn thuộc một đường thẳng cố định khi đường kính CD thay đổi

\(\left\{{}\begin{matrix}2x^3-9y^3=\left(x-y\right)\left(4xy-1\right)\\x^2-3xy+y^2=-1\end{matrix}\right.\)

\(\frac{x}{\sqrt{2x+1}-1}=1-x\)

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Vẽ CD \(\perp\) AB tại D cắt (O) tại E. Vẽ EF \(\perp\) AC tại H. Gọi M là giao điểm của DF và BE, N là giao điểm của HF và CE.

1. CMR: các tứ giác EFCH và EGBH nội tiếp

2. CMR: EF² = ED.EH

3. CM: tứ giác EMFN nội tiếp

4. CM: MN \(\perp\) EF