+ Nếu một trong năm số a,b,c,d,e=1 thì suy ra a=b=c=d=e=1
+Không mất tính tổng quát giả sử a>1.Từ ab=bc=>b>1
Tương tự như vậy c,d,e>1.Như vậy tất cả các hàm mũ mà a,b,c,d,e là cơ số thì đều là hàm tăng
không mất tính giả sử a$\le$≤b
từ $a^b=b^c\Rightarrow\frac{a^b}{b^b}=\frac{b^c}{b^b}\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^b=b^{c-b}$ab=bc⇒abbb =bcbb ⇒(ab )b=bc−b
do $\frac{a}{b}\le1\Rightarrow b^{c-b}\le1=b^0\Rightarrow c-b\le0\Rightarrow c\le b$ab ≤1⇒bc−b≤1=b0⇒c−b≤0⇒c≤b
Tương tự như vậy với các đẳng thức còn lại
$\int^{c\le d}_{b^c=c^d}\Rightarrow\int^{\frac{b}{c}\ge1}_{\left(\frac{b}{c}\right)^c=c^{d-c}}\Rightarrow c\le d$∫c≤dbc=cd⇒∫bc ≥1(bc )c=cd−c⇒c≤d
$\int^{c\le d}_{c^d=d^e}\Rightarrow...\Rightarrow e\le d$∫c≤dcd=de⇒...⇒e≤d
$\int^{e\le d}_{d^e=e^a}\Rightarrow...\Rightarrow e\le a$∫e≤dde=ea⇒...⇒e≤a
$\int^{e\le a}_{e^a=a^b}\Rightarrow...\Rightarrow b\le a$∫e≤aea=ab⇒...⇒b≤a
kết hợp $a\le b$a≤b và $b\le a$b≤a ta có a=b.tiếp tục như vậy b=c,c=d,d=e
vậy phải có $a=b=c=d=e$a=b=c=d=e (ĐPCM)