Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C cố định trên bán kính OA (C khác A và O), điểm M di động trên đường tròn (M khác A, B). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với CM, đường thẳng này cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại D và E.

a) Chứng minh ACMD và BCME là các tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(DC\perp EC\)

c) Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ADEB nhỏ nhất.

Cho phương trình: x²-2(m+1)x+2m-2=0 với x là ẩn số.

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x₁, x₂, tính theo m giá trị của E=x₁²+2(m+1)x₂+2m-2

Cho đường tròn O, đường kính AB=2R. Điểm C nằm trên tia đối của tia BA sao cho BC=R. Điểm D thuộc đường tròn tâm O sao cho BD=R. Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt AD tại M.

1. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BCMD là tứ giác nội tiếp.

b) AB.AC=AD.AM.

c) CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

2. Đường tròn tâm O chia tam giác ABM thành hai phần, tính diện tích phần tam giác ABM nằm ngoài đường tròn tâm O theo R.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y=x² và đường thẳng (d): y=ax+3 (a là tham số)

1. Vẽ parabol (P).

2. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

3. Gọi x₁; x₂ là hoành độ giao điểm của (P) và (d), tìm a để x₁+2x₂=3

Cho hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}mx+2y=18\\x-y=-6\end{matrix}\right.\) (m là tham số).

1. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) trong đó x=2.

2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x+y=9.

Cho nửa đường tròn tâm (O; R), đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD=CB. OD cắt AC tại M. Từ A, kẻ AH vuông góc với OD (H thuộc OD). AH cắt DB tại N và cắt nửa đường tròn (O; R) tại E.

1) Chứng minh MCNH là tứ giác nội tiếp và OD song song với EB.

2) Gọi K là giao điểm của EC và OD. Chứng minh \(\Delta CKD=\Delta CEB\), Suy ra C là trung điểm của KE.

3) Chứng minh tam giác EHK vuông cân và MN//AB.

4) Tính theo R diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác MCNH.

Cho hàm số \(y=\dfrac{1}{4}x^2\)

1) Vẽ đồ thị (P) của hàm số đó

2) Xác định a và b để đường thẳng (d): y=ax+b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 và cắt đồ thị (P) nói trên tại điểm có hoành độ bằng 2