Một xe máy đi từ A đến B. Sau đó 1 giờ , một ô tô cũng đi từ A tới B với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy là 10 km/h. Biết rằng ô tô và xe máy đến B cùng 1 lúc . Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết quãng đường AB dài 200km.

Cho phương trình: x² - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 (1), (x là ẩn, m là tham số).

a, Giải phương trình với m = 2.

b, Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi giá trị của m. Tìm m để biểu thức P = x₁² + x₂² đạt giá trị nhỏ nhất.

Với a, b,c là các số dương thoả mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ac = 6abc. Chứng minh: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)

Với x,y là các số dương thoả mãn điều kiện x \(\ge2y,\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M=\frac{x^2+y^2}{xy}\)

Với x < 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = \(4x^2-3x+\frac{1}{4x}+2011\)

Chứng minh rằng với mọi a > 0 ta có: \(\frac{a}{a^2+1}+\frac{5\left(a^2+1\right)}{2a}\ge\frac{11}{2}.\)

Cho đường tròn tâm (O). Cho điểm M nằm ngoài (O), vẽ các tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD tới (O), với MC < MD và d không đi qua tâm O. I là trung điểm của CD. AB cắt MO tại H. Tiếp tuyến tại C và D của (O) cắt nhau tại K. Chứng minh rằng A, B, K thẳng hàng.