1.
Vì ACAC là tiếp tuyến của (O)(O) nên OC⊥ACOC⊥AC
⇒ˆOCA=900⇒OCA^=900
Tương tự: ˆOMA=900OMA^=900
Tứ giác ACOMACOM có tổng 2 góc đối ˆOCA+ˆOMA=1800OCA^+OMA^=1800 nên là tứ giác nội tiếp.
2.
ON⊥BNON⊥BN (theo tính chất tiếp tuyến) nên ONBONB là tam giác vuông tại NN
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác này:
BN=√OB2−ON2=√(2R)2−R2=√3RBN=OB2−ON2=(2R)2−R2=3R
Tương tự phần a, ta cm được ONBCONBC là tgnt.
OBOB cắt (O)(O) tại TT
TB=OB−OT=2R−R=RTB=OB−OT=2R−R=R nên OT=TBOT=TB hay TT là trung điểm của OBOB
Tam giác ONBONB vuông tại NN nên trung tuyến NT=OB2=OT=ONNT=OB2=OT=ON nên tam giác ONTONT là tam giác đều.
Tương tự: OCTOCT là tam giác đều
ˆNBC=1800−ˆNOC=1800−(ˆNOT+ˆCOT)=1800−(600+600)=600NBC^=1800−NOC^=1800−(NOT^+COT^)=1800−(600+600)=600
3.
Vì AM∥BNAM∥BN (cùng vuông góc với MNMN) nên theo định lý Talet:
AIIN=AMBNAIIN=AMBN
Mà: BN=BC,AM=ACBN=BC,AM=AC theo tính chất tiếp tuyến giao nhau
⇒AIIN=ACBC(∗)⇒AIIN=ACBC(∗)
Theo định lý Talet đảo thì IC∥BNIC∥BN. Mà BN⊥MNBN⊥MN nên IC\perp MN$
----------------
Dễ thấy E,FE,F lần lượt là trung điểm của MC,NCMC,NC theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
Do đó: EF∥MNEF∥MN (tính chất đường trung bình)
Cũng theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì thấy:
OAOA là phân giác ˆCOMCOM^; OBOB là phân giác ˆCONCON^
ˆCOM+ˆCON=1800COM^+CON^=1800
⇒OA⊥OB⇒OA⊥OB
Mà EC⊥AOEC⊥AO nên EC∥OBEC∥OB
Áp dụng định lý Talet:
ACCB=AEEO(∗∗)ACCB=AEEO(∗∗)
Từ (∗);(∗∗)⇒AIIN=AEEO(∗);(∗∗)⇒AIIN=AEEO
Theo định lý Talet đảo thì EI∥ONEI∥ON hay EI∥MNEI∥MN
Do vậy:
EI∥EFEI∥EF (cùng song song với MNMN)
⇒E,I,F⇒E,I,F thẳng hàng.