a.

Diện tích một mặt của lập phương là:

\(294:6=49\left(cm^2\right)\)

Do \(7\times7=49\) nên cạnh lập phương là 7 cm

Thể tích lập phương là:

\(7\times7\times7=343\left(cm^3\right)\)

b.

Thể tích của 180 lập phương là:

\(343\times180=61740\left(cm^3\right)\)

Chiều cao hình hộp là:

\(61740:35:63=28\left(cm\right)\)

Số tầng xếp được là:

\(28:7=4\) (tầng)

Nhìn mấy cái đường tròn này ngán quá luôn.

Xoay ngang hình xuống để lát quay quanh trục Ox cho dễ.

Đặt hệ trục tọa độ, \(AM=4\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=6\)

\(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{3}AM=2\Rightarrow G\left(2;0\right);A\left(6;0\right)\)

\(B\left(0;2\sqrt{3}\right);C\left(0;-2\sqrt{3}\right)\)

\(\Rightarrow P\left(3;\sqrt{3}\right);N\left(3;-\sqrt{3}\right)\)

Đường tròn có pt: \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\)

Thay tọa độ A,G,C ta được đường tròn (AGC):

\(\left\{{}\begin{matrix}36-12a+c=0\\4-4a+c=0\\12+4\sqrt{3}b+c=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=4;c=12;b=-2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow x^2+y^2-8x+4\sqrt{3}y+12=0\)

\(\Rightarrow\left(x-4\right)^2+\left(y+2\sqrt{3}\right)^2=16\)

\(\Rightarrow y=\sqrt{16-\left(x-4\right)^2}-2\sqrt{3}\)

Đường tròn (PGM):

\(\left\{{}\begin{matrix}4-4a+c=0\\9+3-6a-2\sqrt{3}b+c=0\\c=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=1;b=\sqrt{3};c=0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+\sqrt{3}\right)^2=4\)

\(\Rightarrow y=-\sqrt{4-\left(x-1\right)^2}-\sqrt{3}\) (do là nửa dưới đường tròn)

Đường tròn (PGN):

\(\left\{{}\begin{matrix}4-4a+c=0\\12-6a-2\sqrt{3}b+c=0\\12-6a+2\sqrt{3}b+c=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=4;c=12;b=0\)

\(\Rightarrow\left(x-4\right)^2+y^2=4\)

\(\Rightarrow y=\sqrt{4-\left(x-4\right)^2}\)

Thể tích:

\(V=\pi\int\limits^6_2\left(\sqrt{16-\left(x-4\right)^2}-2\sqrt{3}\right)^2dx+\pi\int\limits^3_2\left|4-\left(x-4\right)^2-\left(-\sqrt{4-\left(x-1\right)^2}-\sqrt{3}\right)^2\right|dx\)

A, B đều nằm trên Oxy nên phẳng hóa bài toán về Oxy (chắc chắn M sẽ nằm trên Oxy)

\(A\left(30;0\right);B\left(0;30\right)\)

Phương trình đường tròn chứa M:

\(x^2+y^2=6,4^2\)

\(MA+MB=\sqrt{\left(x-30\right)^2+y^2}+\sqrt{\left(y-30\right)^2+x^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y-60\right)^2+\left(x+y\right)^2}\)

Đặt \(x+y=t\Rightarrow t^2\le2.6,4^2=81,92\)

\(f\left(t\right)=\left(t-60\right)^2+t^2=2\left(t^2-60t+1800\right)\)

Xét min hàm f(t) với \(t\in\left[-\sqrt{81,92};\sqrt{81,92}\right]=D\)

\(f'\left(t\right)=2t-60< 0;\forall t\in D\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) nghịch biến \(\Rightarrow f\left(t\right)_{min}=f\left(\sqrt{81,92}\right)\)

\(\Rightarrow MA+MB_{min}=\sqrt{\left(\sqrt{81,92}-60\right)^2+81,92}\)

Số kilogam gạo nếp của cửa hàng là:

\(\left(1-\dfrac{2}{3}\right)\times7685=\dfrac{7685}{3}\left(kg\right)\)

\(1+2+3+...+2025=2025\times\left(2025+1\right):2=2051325\)

Vận tốc của xe buýt là:

\(\dfrac{2}{3}\times60=40\) (km/h)

Thời gian xe buýt đi từ A đến B là:

\(90:40=2,25\) (giờ)

Đổi 2,25 giờ = 2 giờ 15 phút

Xe buýt đến B lúc:

7 giờ 30 phút + 2 giờ 15 phút = 9 giờ 45 phút

Lượng nước chảy ra mỗi phút là: \(\dfrac{1}{3}x\) (lít)

Tổng lượng nước chảy vào mỗi phút khi mở cả 2 vòi là là:

\(x-\dfrac{1}{3}x=\dfrac{2}{3}x\) (lít)

Số nước có thêm trong a phút khi mở đồng thời 2 vòi là:

\(\dfrac{2}{3}x.a=\dfrac{2}{3}ax\) (lít)

Theo t/c tiếp tuyến thì \(\left\{{}\begin{matrix}BP=PE\\DQ=QE\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow BP+DQ=PE+QE=PQ\)

\(\Rightarrow\left(BP+PC\right)+\left(DQ+QC\right)=PQ+PC+QC\)

\(\Rightarrow BC+DC=PQ+PC+QC\)

\(\Rightarrow4=PQ+PC+QC\le PQ+\sqrt{2\left(PC^2+QC^2\right)}\)

(sử dụng BĐT \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\))

\(\Rightarrow4\le PQ+\sqrt{2PQ^2}\)

\(\Rightarrow4\le PQ\left(1+\sqrt{2}\right)\)

\(\Rightarrow PQ\ge\dfrac{4}{1+\sqrt{2}}\)