Đặt \(Q=\frac{b\sqrt{a}}{1+b}+\frac{c\sqrt{b}}{1+c}+\frac{a\sqrt{c}}{1+a}\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(Q\le\frac{b\sqrt{a}}{2\sqrt{b}}+\frac{c\sqrt{b}}{2\sqrt{b}}+\frac{a\sqrt{c}}{2\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}{2}\le\frac{a+b+c}{2}=\frac32\)

Đồng thời

\(\frac{2024}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}\ge\frac{2024}{a+b+c}=\frac{2024}{3}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2024}{3}-\frac32=\frac{4039}{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

\(2x^2-xy-y^2+9x+7=0\) (1)

\(\Leftrightarrow2x^2-\left(y-9\right)x-y^2+7=0\)

Coi đây là pt bậc 2 ẩn x tham số y, ta có:

\(\Delta=\left(y-9\right)^2-8\left(-y^2+7\right)=9y^2-18y+25\)

Để pt có nghiệm nguyên =>Δ là SCP

=>\(9y^2-18y+25=k^2\) với k nguyên

\(\Rightarrow\left(3y-3\right)^2+16=k^2\)

\(\Rightarrow k^2-\left(3y-3\right)^2=16\)

\(\Rightarrow\left(k+3y-3\right)\left(k-3y+3\right)=16\)

Giải pt ước số trên dễ dàng thu được y=0,1,2

Thay vào pt ban đầu được x

Pt bậc 3 nghiệm xấu ở chương trình phổ thông VN ko giải được em nhé

ĐKXĐ: ...

\(\Leftrightarrow x^2-6x+2=4\sqrt{2x-1}-2x\sqrt{2x-1}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x\sqrt{2x-1}+2x-1=4\left(2x-1\right)+4\sqrt{2x-1}+1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{2x-1}\right)^2=\left(2\sqrt{2x-1}+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x+\sqrt{2x-1}=2\sqrt{2x-1}+1\\ x+\sqrt{2x-1}=-2\sqrt{2x-1}-1\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x-1=\sqrt{2x-1}\left(1\right)\\ x+1+3\sqrt{2x-1}=0\left(2\right)\end{array}\right.\)

Xét (1) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x-1\ge0\\ \left(x-1\right)^2=2x-1\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge1\\ x^2-4x+2=0\end{cases}\)

\(\Rightarrow x=2+\sqrt2\)

Xét (2), do \(x\ge\frac12\) nên vế trái luôn dương, do đó 2 vô nghiệm

1. Đúng

2. Sai

Khi phá dấu trị tuyệt đối:

- Nếu biểu thức nằm trong dấu trị tuyệt đối là không âm thì ta giữ nguyên dấu của biểu thức.

- Nếu biểu thức nằm trong dấu trị tuyệt đối mang dấu âm thì ta thêm dấu trừ vào trước biểu thức

Ví dụ:

\(\left|x^2+1\right|=x^2+1\) do \(x^2+1\) luôn dương

\(\left|-2x^2-5\right|=-\left(-2x^2-5\right)=2x^2+5\) do \(-2x^2-5\) luôn âm

ĐKXĐ: ...

\(\Leftrightarrow8x^3+26x^2-7x=6x+3-3\sqrt{5x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2-x\right)\left(2x+7\right)=\frac{3\left(4x^2-x\right)}{2x+1+\sqrt{5x+1}}\)

TH1: \(4x^2-x=0\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac14\end{array}\right.\) (thỏa mãn)

TH2:

\(2x+7=\frac{3}{2x+1+\sqrt{5x+1}}\) (1)

Do \(x\ge-\frac15\Rightarrow2x+7\ge\frac{33}{5}\)

Đồng thời \(2x+1+\sqrt{5x+1}\ge\frac35\Rightarrow VT\le5

Nên (1) vô nghiệm

Vậy pt đã cho có đúng 2 nghiệm x=0, x=1/4

Chắc em ghi sai đề

Nếu \(C=1+31+32+\cdots+399\) thì C ko chia hết 40 đâu

x+3 chia hết x-1

Suy ra (x-1)+4 chia hết x-1

Suy ra 4 chia hết x-1

Suy ra \(x-1\inƯ\left(4\right)\)

\(x-1\in\left\lbrace-4,-2,-1,1,2,4\right\rbrace\)

\(x\in\left\lbrace-3,-1,0,2,3,5\right\rbrace\)

a.

Đề câu này sai rồi em, em lấy thử n=0 là thấy

Khi đó \(-n\left(n+1\right)+\left(n+5\right)\left(n-1\right)-40=-45\) ko chia hết cho 7.

b.

Đặt \(A=\left(n+2\right)\left(n^2+3n-1\right)-n^3+2\)

\(A=n^3+3n^2-n+2n^2+6n-2-n^3+2\)

\(A=5n^2+5n=5\left(n^2+n\right)\)

Do 5 chia hết cho 5 nên A chia hết cho 5